基于PDE和曲率策动流的图像增强去噪模型研究

摘要

前言近年来，偏微分方程(PDE)方法和曲率驱动流在图像分析处理和计算机视觉领域的应用研究非常活跃。其基本思想是利用偏微分方程将给定的曲线、曲面或退化的图像产生形变，将获得的理想结果作为该偏微分方程的解。就彩色图像处理而言，则可归结为求解耦合PDE方程组问题.PDE的设计和分析是这项技术的关键所在。 图像处理的PDE可以通过求解满足一定约束条件的能量泛函的极小化问题得到。其一般形式为minE(u)，其中E是与曲面(线)或图像u有关的能量泛函，u一般表示图像亮度值。如果我们用F(φ)表示E的一阶变分，一般情况下，u是能量泛函E的极小化元的必要条件是F(u)=0。由于方程F(u)=0的奇异非线性项导致的严格数学理论的缺乏以及数值解求解等方面的考虑，一般采取引入动力系统(梯度下降法)，将方程F(u)=0的求解问题转化为寻找(有时是经过修正的)热流方程()u()t=F(u)的稳态解。其中t是人为添加的时间匹配参数。 在另一方面，不考虑能量泛函而直接导出发展方程的PDE方法近年来也得到了广泛的研究。自从Koenderink,Witkin等人在因果性和定位性等前提假设下导出了严格的尺度空间理论之后，众多学者沿这个方向对尺度空间理论做了改进和完善。本文着重介绍Perona和Malik提出的各向异性扩散模型，他们用有选择性扩散代替与尺度空间理论中与各向同性扩散等价的Gauss磨光以保持图像边沿，Alvarez,Lions，Morel的选择性磨光模型,Osher，Rudin提出的激波过滤器模型以及Sochen,Kimmel，Malladi,Yezzi和El-Fallah,Ford等人提出的图像曲面平均曲率流模型等。这些模型的一般形i式为{ut(x，t)+F(x，u(x，t)，Du(x,t)，D2u(x,t))=0，(x，t)∈Ω×(0，T)，Gene){()u()N(x，t)=0，(x，t)∈()Ω×(0，T)，{u(x，0)=u0(x)，x∈Ω.其中u是退化图像u0的复原版本，Du，D2u分别表示函数u关于空间变量x的梯度和Hessian矩阵。()u()N(x，t)=0和u(x,0)=u0(x)分别是边值条件和初值条件。方程组(Gene)的解函数族{u(x，t)}t＞0组成原始退化图像u0的光滑版本集。随t值的增大，图像u(x，t)的结构愈加简化，并且在这个过程中没有新的结构产生。在这个意义下，t称为尺度变量。 图像分析中应用偏微分方程和曲线、曲面的发展演化方程导出连续域上的图像处理模型，使得图像模型显著简化，而且偏微分方程也很容易将不同的算法结合起来而导出新的模型。PDE方法的另一个优越性在于它可以充分利用偏微分方程数值分析领域的研究成果而获得高效、精确、稳定的图像处理数值格式，如ENO格式、WENO格式、AOS格式和水平集格式等。当然，由于处理图像和数值计算时要考虑非光滑信号的导数，需要我们建立正确的数学框架，比如黏性解理论以及BV解理论等。 本文只涉及图像增强(去模糊)去噪模型及其改进。其他模型，如图像分割的MumfordShah模型，测地动廓线模型等本文未能涉及，详细内容见文献及其参考等。 本文的主要内容分为以下几个部分：第一章.主要介绍一般退化图像建模，以及图像复原的能量方法和PDE方法的提出及改进的主要脉络。其中PDE方法着重介绍Alvarez-Lions-Morel选择磨光模型，Sochen，Kimmel，Malladi等人的平均曲率流模型等；关于能量方法，我们主要介绍Rudin-OsherFatemi模型，Strong-Chan模型，Aubert-Vese模型等。 第二章.在Vogel,Oman，Barcelos,Chen等人工作的基础上，我们将Sochen，Kimmel，Malladi等人的图像曲面平均曲率流模型做进一步推广，给出空间适应性平均曲率流模型{ut=div(ψ(φu)A(|Du|2)Du)-(u-I),(x,t)∈R2×(0，T)，{u(x,0)=I(x)，x∈R2，其中Ⅰ是初始数据，ψ为边缘检测函数，φ为已知向量值算子。我们首先给出上述模型BV解的定义，并利用标准的抛物正则化方法对BV解的存在性给出了证明。我们给出了空间适应性模型的数值实验。其数值格式基于水平集方法。 第三章.§3.1节我们将Barcelos-Chen模型推广到一般情形，给出了改进后的HuanKong-Huang非线性去噪去模糊模型{ut=|Du|div(g2(|DGσ*u|)Du|Du|)-|Du|g(|DGσ*u|)R*(Ru-I),x∈RN,t＞，(PⅡ){u(x,0)=I(x),x∈RN,其中g是边缘检测函数。§3.2节我们给出了一类退化抛物方程黏性解的存在惟一性定理。在§3.3节我们在模型(PⅡ)基础上对Osher-Rudin激波过滤器模型作了进一步的改进。对文中周期初值问题，我们讨论了黏性解的存在性和惟一性。

目录

文摘

英文文摘

独创性声明及学位论文版权使用授权书

第一章绪论

§1.1有关符号和预备知识

§1.2一般退化图像数学模型

§1.2.1模糊和噪声

§1.3图像退化

§1.3.1退化图像的一般模型

§1.4反问题及正则化

§1.4.1反问题

§1.4.2 Tikhonov正则化方法

§1.5能量方法

§1.5.1 Rudin-Osher-Fatemi全变差去噪模型及其推广

§1.5.2 Rudin-Lions-Osher去模糊去噪声变分模型

§1.5.3 Aubert-Vese图像复原变分模型

§1.6 PDE方法

§1.6.1非线性滤波：Perona-Malik模型和Alvarez-Lions-Morel模型

§1.6.2 Sochen,Kimmel,Malladi平均曲率流模型

§1.7本文主要结果

第二章图像恢复强退化抛物模型研究

§2.1强退化抛物方程的双曲现象

§2.2图像去噪空间适应性平均曲率流BV解的存在性

§2.2.1模型假设和BV解

§2.2.2 BV解的存在性

§2.2.3时滞平均曲率流模型

§2.3一类图像PDE模型周期古典解的存在惟一性

§2.3.1周期古典解

§2.3.2空间适应性平均曲率流正则化问题的周期古典解

第三章图像增强去噪模型研究

§3.1图像增强去噪Huan-Kong-Huang模型

§3.1.1 Huan-Kong-Huang去噪去模糊模型

§3.2黏性解

§3.3图像去噪增强抛物-双曲模型

§3.4水平集方法与数值计算

§3.5数值格式和试验结果

§3.5.1数值格式

§3.5.2试验结果

§3.6结论

§3.7后记

参考文献

已经发表或即将发表的与本文有关的主要论文目录

致谢