奇异摄动对流扩散问题的有限差分法

摘要

最高阶导数项含有小参数ε的微分方程称为奇异摄动问题，其解存在指数边界层或内部层.奇异摄动问题常常会在科学研究、工程实践中碰到.例如，流体力学中的高雷诺数Navier-Stokes方程，多孔媒质的流体方程，半导体的扩散方程，化学反应中的反应方程等等. 对于摄动系数ε比较小的情况，经典的数值方法给不出令人满意的数值结果.特别地，基于中心或迎风差分策略的逐点误差在一致网格上是与ε的负次幂成正比的.本文根据准确解的先验估计，合理构造自适应网格.在自适应网格上进行有限差分离散来求解奇异摄动对流扩散问题.通过建立离散算子的不同的稳定不等式来分别进行误差分析.理论分析显示我们的有限差分策略是关于小参数ε一致收敛的，数值实验表明理论结果的正确性，证实了数值方法的稳健性. 本文的组织如下：第一章考虑一维奇异摄动对流扩散问题.首先对应用于奇异摄动问题的自适应网格进行了分类.其次对一维连续问题的连续算子的稳定性、准确解的分解等有关内容进行了讨论.最后，建立了基于自适应网格的简单迎风差分策略，根据一阶差分算子的不同的稳定不等式，用三种方法进行了误差分析. 第二章考虑一维奇异摄动对流扩散问题的二阶差分策略.给出了在加密网格上使用中心差分离散，而在粗网格上则采用中点迎风差分格式的混合差分策咯，得到此格式在Shishkin型网格上是几乎二阶收敛的.本章还介绍了两种常用的加速技巧：Richardson外推法和缺陷修正法，这两种方法都是从低阶差分策略出发进行加速来得到高阶收敛策略.最后，本章考虑了对流系数不连续的奇异摄动问题，这类问题由于系数的不连续性导致存在一个内部层.在Shishkin网格上构造了混合差分格式，得到几乎二阶收敛的误差估计. 第三章考虑奇异摄动拟线性问题.在自适应网格上，用两种迎风差分格式分别对拟线性问题进行离散，给出混合稳定不等式，得到在离散最大模意义下的一致误差估计. 第四章讨论了奇异摄动对流扩散方程组问题.由于方程组的每个方程的最高阶导数项各含有一个小参数，这就导致存在一个重叠的边界层.我们分析了准确解的性质，据此构造了分片一致的Shishkin型网格，并应用两种方法分别证得迎风差分策略是一阶收敛的，并且是关于两个小参数一致收敛的. 第五章考虑一个两维奇异摄动对流扩散问题.在自适应网格上构造迎风差分格式，用两种方法分别对差分策略进行了误差分析. 第六章应用单调迭代法(也称上下解法)来计算非线性差分方程组.此单调迭代法在每个迭代步只需求解一个线性方程组，并且很容易确定迭代的初始值.我们分别建立了半线性对流扩散问题和拟线性问题的差分方程组的迭代过程，证明其是全局收敛的.

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章一维奇异摄动对流扩散问题

第二章一维问题的高阶差分策略

第三章奇异摄动拟线性问题

第四章一族奇异摄动对流扩散方程组

第五章两维奇异摄动对流扩散问题

第六章单调迭代算法

第七章总结

参考文献