局部Lagrange数值微分法研究

摘要

本文主要研究有关局部Lagrange数值微分法的一些关键性的理论问题：公式的显式表示，余项的渐近估计，以及在插值数据有扰动的情况下，局部Lagrange数值微分法的最大逼近阶. Lagrange数值微分法即为求导Lagrange插值多项式L(t)：=L(t;f，Tn)：=∑ej(t)f(tj)=f(t)-R(t)得到的逼近导数的方法，这里Tn={t0，t1……，tn}是一组互不相等的节点，而ω(t):=nΠi=0(t-ti)，ej(t):=ω(t)/(t-tj)ω'(tj)在以前，对于Lagrange插值，函数逼近论学者和计算数学学者有着迥然不同的理解.前者看插值的收敛过程是指插值次数n趋向于无穷时的极限过程.但在后者看来，插值的收敛过程是指插值节点的间距h趋向于零的极限过程.鉴于此，不妨称前一过程为整体的Lagrange插值，而把后一过程称作局部的Lagrange插值. 本文利用对称置换群的循环指标多项式将Lagrange数值微分公式L(k)显式地表示出来.而作为基于Lagrange插值的一种方法，Lagrange数值微分法也有整体与局部之别.至于整体Lagrange数值微分公式的余项估计问题已被人解决，而本文则给出了局部Lagrange数值微分公式的余项估计，这里尤其需要注意的是ω(k)(x)=0时的情形，因为在整体Lagrange数值微分法中是不存在这种情况的.之后，同样利用循环指标多项式可给出局部Lagrange数值微分公式余项的显式表达式.这样，就得到了一个包含计算公式和余项表达的完整的局部Lagrange数值微分公式. 在现实中使用局部Lagrange数值微分法时，还需要考虑到这样的情况：通常用来作插值的数据f(ti)(i=0，1，…，n)不免会有误差，如果这些误差均不超过正数ε，那么就相当于对取自函数集fε(x)的函数～f作插值而用L(k)(x；～f,Tn)逼近f(k)(x)，这里 fε(x)：={～f|存在x的邻域U使|f(t)-f(t)|≤ε，()t∈U}.插值数据的这种扰动，对k=0的情形并不会产生太大影响.但是，当k≥1时，由于分母上hk的作用，数据的ε被放大成ε.h-k，一般说来，L(k)(x；～f,Tn)对f(k)(x)的收敛性就成了问题.这就是通常所说的Lagrange数值微分法的不稳定性.显然，要得到稳定的Lagrange数值微分法，只要使截断误差与ε·hk保持同阶并和它一起趋于零就行.关于此，在以前的文献中有过定性的阐述.而本文将对它进行定量的展开，给出带扰动的局部Lagrange数值微分法的最高精度，即当ε→0时L(k)(fε(x)，Tn)：=sup|L(k)(x；～f,Tn)-f(k)(x)|f∈fε(x)趋向于零的最大阶.从这个结论的证明过程中，不难发现根据扰动界ε和插值次数n确定参数h的较为精确的方法，从而便逼近阶达到最大.结合文中给出的显式表达式，本文还提供了数值例子以验证本文的结论. 在考虑一般的等距节点时，附录A给出了Lebesgue函数在这些节点上的值，这为计算参数h提供了方便.附录B则列出低阶的完整的Lagrange数值微分公式，以及达到最大逼近阶时h的计算公式.

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

第二章Lagrange数值微分法

第三章局部Lagrange数值微分法的显式表示

附录A在某些节点处的Lebesgue函数值

附录B Lagrange数值微分公式

参考文献

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