负pinched流形中子流形的整体pinching定理

摘要

最近，Lp-pinching问题已经成为研究微分几何的一个重要的新课题，它主要研究流形在Lp-pinching条件下的几何结构和拓扑结构. J.Simons，H.B.Lawson，S.S.Chern，M.doCarmo，O.S.Kobayashi曾证明了下述著名刚性定理： 设Mn为n+p维单位球面Sn+p(1)中的n维可定向的紧致极小子流形，S为Mn的第二基本形式模长的平方.若S≤n/2-1/p，则S≡0，即Mn是全测地子流形；或S≡n/2-1/p.且满足S≡n/2-1/p的n维极小子流形只有下面两种： 1.S4(1)中Veronese曲面，这时n=p=2. 2.Sn+1(1)中Clifford超曲面. 之后，文献[4]，[9]，[14]等改进和发展了上述结果.当外围空间为双曲空间时，Xu-Xiang-Gu得到下述结果： 设Mn是双曲空间Hn+p(-1)中完备的平行平均曲率子流形，H和S分别为Mn的平均曲率和第二基本形式模长的平方.若S≤C(n，p，H)，且supMS＜α(n，H)，这里H＞1，则M是全脐球面Sn(1/√H2-1).pinching常数为：C(n,p,H)={α(n,H),若n≥3或p≤2,1/3(10H2-4),若n=2且p≥3.α(n,H)=-n+n3/2(n-1)H2-n(n-2)/2(n-1)√n2H4-4(n-1)H2.H.W.Xu，J.R.Gu和M.Y.He研究了曲率为-1的双曲空间Hn+p(-1)中完备平行平均曲率子流形的Ln/2-pinching问题，获的以下结果： 设Mn为n+p维双曲空间Hn+p(-1)中n维完备的平行平均曲率子流形.H和S分别为Mn的平均曲率和第二基本形式模长的平方，H＞1.如果∫M(S-nH2)n/2＜C(n，H)，C(n，H)是一个与n，H有关的正常数，那么S≡nH2.即M为全脐球面Sn(1/√H2-1). 本文将上述定理中的外围空间Hn+p(-1)推广为负pinched黎曼流形，证明了下述定理 定理.设Mn(n≥3)为n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维紧致可定向的平行平均曲率子流形，H和S分别为Mn的平均曲率和第二基本形式模长的平方，且H＞1.Nn+p的截曲率满足-1≤KN≤δ0(n，p，H).设(H)是复合等距浸入Mn→Nn+p→Rl的相对平均曲率，且满足(H)≤H0.若‖S-nH2‖n/2≤C(n,p,δ,H,H0),‖S-nH2‖n/n-2≥(1+δ)α(n,p)vol(M),则Nn+p整体等距于Hn+p(-1)，且Mn为n维全脐球面Sn(1/√H2-1).这里δ：=supKN，vol(M)是流形M的体积，δ0(n,p,H)为与n，p，H有关的非正的常数，α(n，p)为与n，p有关的正常数，C(n，p，δ，H，H0)为与n，p，δ，H，H0有关且具体给定的正常数. 特别地，当δ=-1时，立即得到下述推论.设Mn(n≥3)为Hn+p(-1)中n维紧致可定向的平行平均曲率子流形.若∫M(S-nH2)n/2＜C(n)，这里C(n)是一个仅与n有关的正常数，则M必为全脐球面.

目录

摘要

§0引言

§1基本公式

§2几何不等式

§3定理的证明

参考文献

致谢