随机激励下Holmes-Duffing系统的随机分形与分岔研究

摘要

本论文主要讨论了Holmes-Duffing振子在各种激励下的分岔与分形。第一章介绍了混沌研究的历史、现状、发展趋势和前景、研究的主要方法和几个重要的概念。第二章通过系统的相图研究了系统的分岔，并通过不同参数对系统分岔的不同作用将参数分为内部因素与外部因素。 第三章计算了系统的Melnikov函数，分析了各种激励以及各个参数对系统运动状态的影响，发现Melnikov方法并不适用于单周期激励的保守系统。周期激励系统的混沌阀值随着激励幅值或阻尼系数单调变化，但并不随着激励频率单调变化。在具有随机外激励情况下，加入周期激励能够增大混沌域，使混沌更加容易发生。在随机参数激励情况下，也可得到类似的结论。 第四章讨论了各种激励下系统的安全盆的侵蚀情况，其中主要分析了在各种激励下安全盆的边界形状与侵蚀速度。通过对无阻尼系统和有阻尼系统的安全盆分别进行研究，发现存在本质的不同：对阻尼变化的参激系统的安全盆的研究结果表明，其安全盆呈现点对称结构这一新的现象。 第五章介绍了相流函数及其与随机Melnikov函数的关系，分别用这两种方法计算了一个随机系统进入混沌的阀值，并用安全盆的结果进行了验证。发现这三种方法在计算系统混沌阀值方面具有一致性。在这一章的最后，对这三种方法计算结果的误差进行了讨论，并且比较了各自的特点。

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第一章绪论

§1.1引言

§1.2奇怪吸引子与分形

§1.2.1平庸吸引子

§1.2.2奇怪吸引子

§1.3研究混沌的主要方法

§1.4通向混沌的道路——分岔

§1.5混沌学的发展趋势及应用前景

§1.6安全盆简介及本论文的工作

第二章系统的分岔

§2.1引言

§2.2局部稳定性分析

§2.3系统的分岔

§2.4本章小结

第三章系统的Melnikov积分的计算

§3.1引言

§3.2周期激励下系统的Melnikov函数

§3.3高斯白噪声激励下系统的Melnikov函数

§3.4随机参激下系统的Melnikov函数

§3.5本章小结

第四章安全盆的侵蚀

§4.1引言

§4.2确定性激励

§4.2.1单周期激励

§4.2.2拟周期激励

§4.3随机外激励

§4.4随机参激激励

§4.5本章小结

第五章系统进入混沌的阀值的计算

§5.1引言

§5.2随机Melnikov函数及其统计特性

§5.3相流函数与Melnikov函数的关系

§5.4算例分析

§5.5本章小结

参考文献

科研与论文

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