不可压缩流体中的一些数学问题的研究

摘要

在研究流体力学的过程中，我们都离不开对Navier—Stokes方程的讨论。P．—L．Lions、J．Y．Chemin、A．Majda、R．Danchin等人对该方程做了深入的研究和讨论．本人在他们工作的基础上，对基于Navier—Stokes方程进行改进的Navier—Stokes—Coriolis方程和Kazhikhov—Smagulov型污染模型进行了探讨．
　　 对于描述海洋洋流和大气循环的模型三维Navier—Stokes—Coriolis系统，我们主要得到了以下的结论：
　　 ·在Sobolev空间的框架下，不同初值情况下的局部适定性。
　　 ·在Besov空间的框架下，讨论了该系统的局部适定性结果．
　　 ·在Sobolev空间的框架下，我们得到：当ε趋向于零(即高速旋转的情况)时，系统将趋向于二维的Navier—Stokes系统．在Chemin等人的工作中，他们得到常密度系统在2≤q≤6时该收敛成立．我们可以得到，当q＞6时，由于Sobolev空间的光滑性，密度依赖的Navier—Stokes—Coriolis系统也可以收敛到二维的Navier—Stokes系统。
　　 ·在Sobolev空间的框架下，我们讨论了光滑解的爆破条件，并在其基础上得到该系统的几乎全局适定性．
　　 对于Kazhikhov—Smagulov型污染模型，我们主要对如下问题进行了探讨：
　　 ·讨论该系统的局部适定性问题。
　　 ·解的爆破条件。
　　 ·关于扩散系数的收敛情况：“弱结论”，即：
　　 1)．局部解的构造
　　 2)．存在某固定的时间段[0，T]，使得该系统的解在L2空间中强收敛到Euler系统的解．
　　 ·关于扩散系数的收敛情况：“强结论”，即：
　　 如果Euler方程在时间段[0，T0]上存在光滑解的话，那么当λ足够小的话，该系统在该时间段上仍然存在光滑解．并且在该时间段上该解强收敛到Euler方程的解。

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章 绪论

1.1 Navier-Stokes-Coriolis系统

1.2污染模型

1.3本文的结构

第二章 环形分解

2.1环形分解的定义及其性质

2.2三维空间中，依赖于两维坐标的函数的环形分解

2.3齐次Besov空间的定义及其性质

第三章 Sobolev空间框架下讨论Navier-Stokes-Coriolis系统

3.1能量估计

3.2线性方程

3.2.1传输方程

3.2.2动量方程

3.3光滑初值情况下的局部适定性

3.4一般初值情况下的局部适定性

3.5初值依赖于二维坐标情况下解的存在性

3.6极限情况

3.7爆破判别

3.8几乎全局适定性

第四章 Besov空间框架下讨论Navier-Stokes-Coriolis系统

4.1线性方程

4.1.1传输方程

4.1.2线性动量方程

4.2唯一性

4.3存在性

第五章 Kazhikov-Smagulov型污染模型

5.1主要结论

5.2能量估计

5.3线性方程

5.3.1 密度方程

5.3.2 动量方程

5.4局部解存在唯一性

5.5爆破估计

5.6极限情况

第六章 总结与展望

6.1广义的Navier-Stokes方程

6.2展望

参考文献