有理曲线曲面的形式优化和约束逼近

摘要

相对于多项式形式，有理形式的Bézier曲线曲面的表示能力更为强大，在计算机辅助设计领域中的应用也更加广泛．本文主要研究有理Bézier曲线曲面的形式优化和约束逼近．
　　 一条有理Bézier曲线或一张有理Bézier曲面可以有无穷种表示形式，具体如何选择使其某些计算性质得到优化，比如最小化权因子的最大比值以便得到紧凑的导矢界估计，这是个值得深入探讨的问题．有理曲线曲面的逼近是个经典的问题，该问题的解能提高不同设计系统间的数据兼容性，减少数据的存储量和应用于曲线曲面的光顺．本文围绕这两个问题进行研究，得到了以下创新性的成果：
　　 一、最小化有理Bézier曲线曲面的权因子的最大值．通过引入不变量并借助几何直观理解，我们以新的思路解决了最小化有理Bézier曲线的权因子的最大比值问题，同时给出该问题的解的唯一性证明．其次把曲线的情况推广，首次给出最小化有理Bézier曲面的权因子的最大比值问题的显式解，同时探讨了该问题存在唯一解或无穷多个解的条件．借助于几何直观到符号逻辑推理的转换，我们给出了相关定理的代数证明．我们还进一步研究权因子的稳定状态，即它们的最大比值达到最小时的状态，并给出了满足这种状态的直观表达．
　　 二、有理Bézier曲线的约束逼近．我们首先给出两条有理Bézier曲线在端点满足一般性连续约束的充要条件，并把其表示成简单的矩阵表达式．然后在给定降阶曲线的权因子的情况下，我们利用最小二乘法得到了L2范数下降阶曲线的最佳控制顶点．同时我们也解决了L2范数下有理Bézier曲线的最佳多项式约束逼近问题，以及Bézier曲线的最佳约束降阶问题．结合前面的结论，我们分别用最速下降法和BFGS迭代法来求解有理Bézier曲线的降阶问题，并得到一系列逼近误差不断减少的降阶曲线．
　　 三、二阶充分条件．为了验证有理Bézier曲线的降阶曲线是否为最优解，我们给出了适合有理曲线降阶问题的二阶充分条件，并给出了该条件适用于实际操作的简单形式．与传统的二阶充分条件一样，该条件只能验证局部最优解．
　　 四、有理Bézier曲面的约束多项式逼近．我们先给出张量有理Bézier曲面和Bézier曲面在角点处满足一般性连续约束的充要条件，进而在L2范数下得到有理张量Bézier曲面的最佳多项式逼近曲面．为了提高曲面的边界处的逼近效果，我们还研究了边界优先约束逼近，并得到了最优解．对于有理三角Bézier曲面，我们也类似地得出了最优的多项式逼近曲面．因为Bézier曲面是退化的有理Bézier曲面，所以我们还解决了L2范数下Bézier曲面的最佳约束降阶问题．