带边流形上的k-Yamabe问题

摘要

k-Yamabe问题是微分几何中的一个很有趣的问题.它是要找一个共形的度量g，使得它的Schouten张量的κ-曲率是常数．其中κ-曲率是指二阶对称张量特征值的κ次对称多项式.特别的，当k=1时k-Yamabe问题就还原成了经典的Yamabe问题．我们有时也希望共形后Schouten张量的κ-曲率能等于预定的函数f.这种问题称为预定曲率问题．
　　 对于闭流形而言，在(M，g)是κ-相容(k-admissible)的前提下，[Au]，[S1]，[Tr1]，[Tr3](k=1)以及[V1],[CGY2]，[GeW]，[GW2],[BV]，[LL1]，[GV2],[STW],[TW1],[TW2](k≥2)已经给出了κ-Yamabe以及预定曲率问题的一系列的存在性结果．而对于具有全脐边界的流形，我们已经知道：若(M，g)局部共形平坦并且是κ-相容的，那么k-Yamabe问题是可解的([Cn2])．随后，[JLL]在k＞n/2以及流形不共形于半球面的情况下弱化了局部共形平坦的条件.只要流形在边界附近是局部共形平坦的，便可以得到更为一般的预定曲率问题都有解．在这些工作的基础上，我们研究了具有全测地边界的流形的k-Yamabe问题，对于该问题解的存在性，我们去掉了上述论文中要求的边界附近局部共形平坦的这个条件.
　　 除了k-相容的情况外，当k-Yamabe常数(yκ[g])为正时也有一系列存在性结果.比如，文献[CGY1]，[GV1]，[GLW]和[S]就对闭流形上的这类问题进行了讨论.对于带边流形而言，[Cn3]给出了：如果(M，g)局部共形平坦、边界全脐、第i个Yamabe常数yi[g](1≤i≤k)是正的，那么k-Yamabe问题是有解的.而在我们的文章中，将条件yi[g]＞0(1≤i≤k)弱化为y1[g]，yk[g]＞0．
　　 我们进一步将上述结果应用到了Ricci张量的κ-曲率的共形问题上，也得到类似的解的存在性和解集的紧性结果.