流形上几何与拓扑的若干问题研究

摘要

本文着重研究流形上几何与拓扑的若干问题，获得了非负常曲率空间形式中完备子流形的最佳微分球面定理，证明了一类黎曼流形的最佳微分球面定理，并将著名的Brendle-Schoen微分球面定理推广到黎曼流形中具任意余维数p(≥0)的子流形情形，还获得了空间形式中完备子流形的一个分类定理；证明了关于紧致黎曼流形的若干微分球面定理，部分解答了丘成桐(S.T.Yau)提出的关于黎曼流形逐点曲率pinching的公开问题，将关于正Ricci曲率黎曼流形的沈忠民拓扑球面定理改进为关于正数量曲率黎曼流形的微分球面定理；获得了紧致Einstein流形的最佳刚性定理；改进了关于球面中极小子流形的丘成桐刚性定理，并将其完整地推广到空间形式中平行平均曲率子流形的情形，在Ricci曲率pinching条件下证明了空间形式中平行平均曲率子流形的最佳刚性定理；系统研究了pinched流形中平行平均曲率子流形的刚性问题．本文主要由五部分(第三至第七章)组成．
　　 本文第三章证明了黎曼流形与子流形的若干微分球面定理．流形的曲率与拓扑是整体黎曼几何的核心课题之一.近六十年来，Anderson、Berger、Brendle、Cheeger、Chern、Colding、Gromoll、Gromov、Grove、Hamilton、Huisken、Klingenberg、Micallef、Moore、Perelman、Rauch、Schoen、Shiohama、Yau等一批国际著名学者对这一领域作出了杰出贡献．最近，H.W.Xu和E.T.Zhao首次获得了曲率拼挤(pinching)条件下高余维黎曼子流形的微分球面定理．在第三章中，我们首先研究了完备流形的微分球面定理.对于非负常曲率空间形式Fn+p(c)中的可定向完备子流形Mn，引进一个与数量曲率和平均曲率相关的新的几何量λ(M)，运用Hamilton与Brendle的Ricci流收敛性定理和关于稳定流不存在性的Lawson-Simons-Xin公式，我们证明：若上述几何量λ(M)＜0，则M微分同胚于Sn．该结果推广了关于球面中闭超曲面的Huisken微分球面定理．其次，我们将关于紧致黎曼曲面的Hadamard微分球面定理推广到高维黎曼流形的情形.通过上述几何量λ(M)，我们引进可定向完备黎曼流形Mn上的内蕴不变量I(M)，证明：若I(M)＞0，则M微分同胚于S.值得一提的是，该微分球面定理对任意的维数n(≥2)都是最佳的．此外，我们将著名的Brendle-Schoen微分球面定理推广到黎曼流形中具任意余维数p(≥0)的子流形情形．我们还获得了空间形式中具有正数量曲率完备子流形的一个分类定理．
　　 第四章获得了各类曲率pinching条件下黎曼流形的微分球面定理．我们首先证明：若M为n维紧致黎曼流形，且Ricmin＞(n-1)θnKmax，其中θn=1-Kmax(x):=maxπ(?)TxMK(π),Ricmin(x):=minu∈UxMRic(u),K(·)和Ric(·)分别为M的截面曲率和Ricci曲率，则M微分同胚于球面空间形式．特别地，若M为紧致单连通流形，且K≤1，RicM＞(n-1)θn，则M微分同胚于Sn．我们进一步研究了具有正数量曲率的黎曼流形的微分球面定理，证明：若Mn为紧致流形，且其正规化数量曲率和截面曲率满足逐点pinching条件R0＞σnKmax，其中为仅依赖于n的正常数，则M微分同胚于球面空间形式.该结果改进了关于正Ricci曲率黎曼流形的沈忠民拓扑球面定理.我们还证明：若Mn为紧致流形，且Kmin＞ηnR0，其中为仅依赖于n的正常数，则M微分同胚于球面空间形式．该定理部分解答了丘成桐提出的关于黎曼流形逐点曲率pinching的公开问题．我们还获得了关于第n-2个Ricci曲率和正规化数量曲率逐点pinching条件下的微分球面定理．此外，我们将上述球面定理推广到一般黎曼流形中紧致子流形的情形．
　　 第五章研究了具有正数量曲率的紧致Einstein流形的刚性问题．Einstein流形的刚性问题是整体黎曼几何中的重要课题之一．Berger、Tachibana、Z.M.Shen、Micallef、Wang与D.Yang等人先后对这一问题进行了系统深入的研究，获得了若干重要结果.最近，Brendle证明具有非负迷向曲率的n(≥4)维紧致Einstein流形是局部对称的．在第五章中，我们首先证明：若Mn(n≥4)为紧致Einstein流形，其正规化数量曲率和截面曲率满足其中则M等距于球面空间形式.我们还证明：若n(≥4)维紧致Einstein流形M满足其中则M为局部对称流形．当n为偶数时，我们举例说明了pinching常数是最佳的.其次，我们在第n-2个Ricci曲率和正规化数量曲率pinching条件下获得了紧致Einstein流形的刚性定理．此外，我们将上述定理推广到一般黎曼流形中紧致Einstein子流形的情形.
　　 第六章证明了空间形式中平行平均曲率子流形的刚性定理.上世纪六十年代末，Simons、Lawson、Chern、do Carmo和Kobayashi证明了球面中闭极小子流形的著名刚性定理.在Okumura和Yau等学者的工作基础上，1990年H.W.Xu完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的广义SimonsLawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理．在第六章中，我们首先研究了球面中极小子流形的刚性问题．运用Yau的参数方法和Ge-Lu-Tang证明的DDVV不等式，我们证明：若M为单位球面Sn+p中n维可定向的紧致极小子流形，且则M必为全测地子流形，两个球面的乘积流形，和S4中的Veronese曲面之一.这里sgn(·)为标准的符号函数．当2＜p＜n时，上述结果同时改进了Yau和Itoh的极小子流形刚性定理．其次，我们将上述刚性定理推广到空间形式中平行平均曲率子流形的情形.我们还证明：若空间形式Fn+p(c)中n维紧致可定向平行平均曲率子流形M的Ricci曲率满足RicM≥(n-2)(c+H2)，其中c+H2＞0，则M必为全脐球面，中的Clifford超曲面和中之一.特别地，当时，M为全脐球面．该刚性定理完整地推广了改进后的Ejiri刚性定理．上述刚性定理为研究常曲率空间形式中高余维平均曲率流提供了重要的几何背景.受此刚性定理的启发，我们还证明了Ricci曲率pinching条件下紧致子流形的微分球面定理．
　　 第七章研究了pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的刚性问题，进一步推广了本文第六章中的刚性定理．1990年，H.W.Xu首次研究了一般黎曼流形中极小子流形的刚性问题．之后，Shiohama与H.W.Xu证明了pinched黎曼流形中紧致平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do CarmoKobayashi-Li-Li刚性定理．在本章中，我们首先在截面曲率pinching条件下证明n+p维pinched黎曼流形中n维紧致可定向极小子流形M的刚性定理，推广了Yau、Itoh、J.R.Gu与H.W.Xu等的刚性定理，并进一步将这一结果推广到pinched黎曼流形中n维紧致可定向平行平均曲率子流形的情形．我们还研究了Ricci曲率pinching条件下n+p维pinched黎曼流形中n维紧致可定向极小子流形M的刚性问题，推广了Ejiri、Y.B.Shen、L.Tian与H.W.Xu等的有关工作.最后，我们将这一结果推广到pinched黎曼流形中n维紧致可定向平行平均曲率子流形的情形．