Sturm-Liouville特征值的逆问题的研究

摘要

本文主要研究了三类特征值逆问题:第一类是正则的Sturm-Liouville特征值的逆问题.针对此问题，我们提出了修正Numerov方法并给出了一个相应的收敛性定理.此外，针对文献[3]中提出的重构Sturm-Liouville势函数的边值方法，我们给出了收敛性分析.第二类是阻抗形式的Sturm-Liouville特征值的逆问题.针对此问题，我们提出了下降流方法和有限差分方法.第三类是Helmholtz方程特征值的逆问题.针对此问题，我们提出了一个新的方法，即通过利用最速下降法求解一个最小二乘问题来得到未知密度函数的分片常数逼近.
　　我们首先讨论正则的Sturm-Liouville方程特征值的逆问题.基于文献[13]中的Numerov方法，我们提出了一种修正Numerov方法并给出了一个收敛性定理.修正Numerov方法是利用插值方法使得即使在不结合特征值的修正方法的情况下，仅通过加密网格也可以改进Sturm-Liouville方程的数值特征值的精度.修正Numerov方法克服了文献[13]中Numerov方法的一个局限，即网格步长由给定特征值的个数确定且如文献[13，16]中所指出的那样不能任意加密.此外，针对文献[3]中提出的重构Sturm-Liouville势函数的边值方法，我们给出了收敛性分析.在文献[3]中，作者首先构造了一个相关的非线性方程组，然后利用拟牛顿方法进行求解从而得到了未知势函数在某有限维函数空间中的近似.对此，我们需考虑两个收敛性问题:一个是拟牛顿方法的收敛性.针对问题，我们给出了一个收敛性定理.另一个收敛性问题是非线性方程组的精确解对应的连续逼近函数是否收敛到逆问题的精确解.针对此问题，我们给出了一个相应的的收敛性定理.为了进一步研究边值方法的性质，我们还引入了一些其他函数空间.通过数值例子验证了所得的收敛性质及修正Numerov方法和边值方法的稳定性和有效性.
　　其次，我们讨论阻抗形式的Sturm-Liouville方程特征值的逆问题.针对该问题，我们分别基于文献[26]和文献[72]提出了两种算法.第一种是下降流方法.通过利用有限差分方法离散Sturm-Liouville算子并用某给定函数空间内的一个连续函数去逼近阻抗函数，我们得到了一个广义矩阵特征值问题.基于正则的Sturm-Liouville方程特征值的修正方法，我们讨论了阻抗形式Sturm-Liouville方程特征值的修正方法.此时，通过求解一个最小二乘问题，我们得到了阻抗函数的一个近似.此外，我们对通过求解矩阵特征值逆问题来重构阻抗函数的这类数值解法也十分感兴趣，因此，在已知阻抗函数关于区间中线对称的情况下，我们提出了第二种算法，即有限差分方法.结合阻抗形式Sturm-Liouville方程特征值的修正方法，我们将矩阵特征值逆问题转化成非线性方程组的求解问题，利用修正牛顿方法得到阻抗函数的一个近似.同时,我们也给出了算法的收敛性证明.数值试验结果表明上述两种算法都是稳定有效的.
　　最后，我们讨论了二维Helmholtz方程特征值的逆问题.针对对称密度函数的重构问题，基于文献[65]中的方法，我们提出了一个新的方法.通过分片常数逼近密度函数并利用Rayleigh-Ritz方法离散微分方程，可将连续问题的特征值的逆问题转化成一个相应的矩阵特征值逆问题，接着针对矩阵特征值逆问题提出了一个最小二乘问题.结合特征值的灵敏度分析，利用最速下降法，我们可得到未知密度函数的一个近似.数值试验结果表明我们的算法能够十分有效地重构未知密度函数.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 引言

1．2 本文结构

第二章 势函数的重构

2．1 问题介绍

2．2 重构对称势函数的修正Numerov方法

2．2．1 Numerov方法

2．2．2 修正Numerov方法

2．2．3 修正Numerov方法的收敛性

2．2．4 两类插值函数空间

2．2．5 数值例子

2．3 重构非对称势函数的边值方法的收敛性分析

2．3．1 边值方法

2．3．2 收敛性分析

2．3．3 其他函数空间

2．3．4 数值例子

2．4 本章小结

第三章 阻抗函数的重构

3．1 问题介绍

3．2 下降流方法

3．2．1 有限差分离散

3．2．2 算法描述

3．2．3 数值例子

3．3 有限差分方法

3．3．1 矩阵特征值逆问题

3．3．2 算法描述

3．3．3 收敛性的证明

3．3．4 数值例子

3．4 本章小结

第四章 密度函数的重构

4．1 问题介绍

4．2 密度函数的重构算法

4．2．1 Rayleigh-Ritz离散方法

4．2．2 算法描述

4．3 数值例子

4．4 本章小结

第五章 总结与展望

5．1 主要创新点

5．2 未来研究方向

参考文献

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简历

致谢