Hecke代数以及相关代数的研究

摘要

本文的主要结果分为四个部分.首先，将利用格拉斯曼流形的拓扑性质来讨论和研究分圆NilHecke代数中的基本代数之中胞腔基.这组基最早由北京理工大学的胡峻教授在研究分圆NilHecke代数的一组本原幂等元的时首次被构造出来.在这一部分的研究中，建立了分圆NilHecke代数所对应的基本代数和格拉斯曼流形上同调代数的同构关系.更进一步来说，将给出一个代数层面上的同构，这个同构将胡峻教授构造的这组基和格拉斯曼流形上同调代数中的舒伯特胞腔基一一对应起来.利用上述同构关系，就可以利用舒伯特胞腔的一系列已知的经典性质，举一个例子，能够很简单的证明出:胡峻教授构造的这组基就是我们要找的胞腔基，同时它也能说明分圆NilHecke代数的基本代数是个分次的胞腔代数.
　　在接下来的第二部分中，我们将研究对象转向Iwahori-Hecke代数与其相关的代数和模结构.以q-Schur代数的Borel子代数为出发点，详细刻画了Borel子代数下的极大理想.以此为依托，可以通过bar分解的方法得到一条Borel子代数范畴上的复形.通过诱导函子和Schur函子的作用，能够构造出对偶Specht模上的一条复形链.更进一步的，结合Boltje和Maisch的一部分正和上的结果，能证明这条复形链是对偶Specht模上的一个投射分解.
　　其次，不同于其他理论中外尔模余集形式的构造.在本文的第三部分里，我们将分圆Schur代数模范畴中所有的外尔模实现为一组特殊元素对应的正则模.与之相对应的量比如胞腔基都能够在正则模的情况下得以实现，同时也对这些结论给出了不一样的构造和证明.更进一步，我们用重新构造和证明的胞腔基给出了分圆Schur代数下分支理论的重新证明.
　　在最后一个部分的研究中，分成两个部分.第一部分中，利用第二部分构造的投射分解，研究了对偶Specht模之间低阶数的扩张模和它相关的一些性质.通过组合性质构造并且证明了这些扩张模中的一组基.第二部分中，尝试将Iwahori-Hecke代数下的Woodcook条件推广到分圆Hecke代数意义之下.为此我们尝试研究和实现分圆Schur代数下的整体基和外尔模上的晶体基结构.从而将Boltje-Maisch投射分解推广到分圆Hecke代数的情况下.

目录

致谢

摘要

第1章 引言

§1．1 背景

§1．2 步骤及主要结果

§1．3 布局

第2章 预备知识

§2．1 格拉斯曼流形的上同调代数

§2．2 分圆NilHecke代数和它的基本代数

§2．3 组合量介绍

§2．4 Iwahori-Hecke代数，Ariki-Koike代数，(分圆)q-Schur代数

§2．5 量子群介绍

第3章 分圆NilHecke代数的分次胞腔基

§3．1 分圆NilHecke代数的矩阵表现

§3．2 NHZl，n基本代数中的舒伯特计算(schubert calculus)

第4章 Specht模上的Boltje-Maisch投射分解

§4．1 坐标环表现和bar分解

§4．2 Woodcock条件和Kempf定理的应用

§4．3 Boltje-Maisch正合性验证

第5章 q-Schur模以及其中的一组基

§5．1 q-Schur模的结构和相关的主要定理

§5．2 在分支理论中的应用

第6章 分圆q-Schur代数上的Borel子代数和Woodcock结构

参考文献

在读期间完成的论文