B样条物质点法的算法改进研究

摘要

数值仿真已在工程应用和科学研究等领域起到越来越重要的作用。然而，传统的有网格类方法，如有限元法、有限差分法、有限体积法等，在处理大变形、材料破坏、穿孔、多相介质界面传播等问题时，往往需要借助网格重构技术以避免网格畸变，相应地将造成算法复杂、精度下降、效率低下、甚至数值不稳定等问题。不依赖于网格的无网格类方法可很好地求解这类有网格方法难以求解的复杂问题。作为一种无网格方法，物质点法是由流体流动隐式粒子法演变而来。物质点法采用拉格朗日粒子来离散求解域，同时采用欧拉背景网格求解系统的控制方程。因此，物质点法既发挥了拉格朗日算法和欧拉算法的优点，又避免了各自的不足。目前，物质点法已在各类复杂问题的求解中得到了广泛应用，并展现了强大的求解优势。然而，物质点法存在一定的网格穿越误差和内力积分误差，从而造成求解精度不足等问题。对高精度物质点算法的研究是当前物质点法研究的热点问题之一。本文对一种高精度物质点算法—B样条物质点法，作进一步发展和改进，主要研究内容和成果包括:
　　(1)传统物质点法采用线性插值形函数来实现物质点和背景网格节点之间的信息交换以及求解节点内力。由于其插值形函数梯度在背景网格节点处不连续，当物质点穿越背景网格边界时，将会引起内力和速度梯度的非物理振荡，从而导致求解精度的下降。利用B样条基函数代替物质点法中的线性插值形函数而得到的B样条物质点法，可有效改善传统物质点法中的网格穿越误差。对此，本文归纳总结了B样条物质点法的基本概念，详细给出了其算法实现过程。通过具体算例，系统分析了不同阶次（2次、3次和4次）B样条物质点法的计算精度、收敛性及计算效率，并与物质点法及现有物质点改进算法，如:广义插值物质点法(GIMP)、对流粒子域插值法(CPDI)、耦合双域物质点法(DDMP)，进行了对比研究。结果表明:B样条物质点法可有效消除传统物质点法由于采用线性插值形函数而引起的网格穿越误差，显著提高和改善了物质点法的求解精度和收敛性。随着B样条物质点法阶次的提高，可一定程度上提高其计算精度和收敛性。相较物质点法，B样条物质点法的计算耗时虽然有所增加，但各阶次B样条物质点法的计算耗时均成线性增长且增长率与物质点法基本一致。与现有物质点改进算法相比，B样条物质点法具有较高的应力求解精度和较好的能量守恒性。
　　(2)B样条物质点法在求解节点内力时仍采用物质点作为积分点、以物质点所占体积域作为积分权函数，在计算过程中，尤其对大变形问题，随着物质点的运动及体积域的较大变化，将引起内力积分误差。针对这一不足，本文对B样条物质点法的内力积分算法进行改进，利用布置在物质点体积域内的高斯积分点求解节点内力，提出高斯积分B样条物质点法。通过具体算例分析了各阶次高斯积分B样条物质点法的计算精度、计算收敛性和计算效率。结果表明:引入内力积分改进算法后，对低阶次B样条物质点法的求解精度和收敛性有较大改进，尤其对粒子数较少或背景网格尺寸较小的情况。虽然随着B样条基函数阶次的提高可改善内力积分误差，但在计算精度相近的情况下，低阶次的改进高斯积分B样条物质点法相比高阶次B样条物质点法具有更高的求解效率。
　　(3)材料大变形或破坏问题往往具有局部化特点，可采用背景网格局部细化技术来提高计算效率，即在应力或变形较大的区域使用较密的背景网格，而在其他区域采用较疏的背景网格。对此，本文分别基于截断层次B样条(TruncatedHierarchical B-spline，THB)函数、局部加密B样条(Locally Refined B-spline，LRB)函数和桥域法，提出了相应的背景网格局部细化B样条物质点算法，并采用具体算例对算法有效性进行验证。结果表明:基于THB、LRB和桥域法的背景网格局部细化算法，对准静态问题均展现了较高的求解精度和求解效率，验证了各算法在求解准静态问题的有效性。然而，对于瞬态动力学问题，基于LRB或THB的背景网格局部细化B样条物质点算法，在不同背景网格尺寸交界处存在较大的应力振荡，因此无法有效地用于求解动力学问题;而基于桥域法的背景网格局部细化算法，可有效消除因背景网格尺寸不同而引起的应力非物理振荡，在保证计算精度的同时，具有更高的求解效率。

目录

声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 研究背景和意义

1．2 物质点法研究现状

1．3 样条函数在数值方法中的应用

1．4 本文主要研究内容

1．5 本章小结

2 物质点法及其改进算法

2．1 控制方程

2．2 物质点离散

2．3 算法实现

2．4 现有物质点改进算法概述

2．5 本章小结

3 B样条物质点法

3．1 引言

3．2 B样条基函数

3．3 B样条物质点法

3．4 数值算例

3．5 本章小结

4 B样条物质点法内力积分改进算法

4．1 引言

4．2 商斯积分B样条物质点法

4．3 改进的高斯积分B榉条物质点法

4．4 数值算例

4．5 本章小结

5 B样条物质点法背景网格局部细化算法

5．1 引言

5．2 基于THB和LRB的BSMPM背景网格局部细化算法

5．3 基于桥域法的BSMPM背景网格局部细化算法

5．4 数值算例

5．5 本章小结

6 结论与展望

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

附录

个人简历

在读期间主要科研成果