三类非线性演化方程的不变子空间和精确解

摘要

本文运用不变子空间的方法来研究非线性偏微分方程的精确解。对于连续方程的不变子空间方法,我们找到了方程所拥有的不变子空间,然后根据不变子空间的方法求出该方程的精确解.而对于离散方程的不变子空间的方法,我们是在时间t连续的情况下,对空间变量χ进行离散化。在不变子空间的理论下,我们构造了相应的有限差分解的低维约化,得到方程的精确解。运用这些精确解,我们将进一步研究这些方程的性质.本文主要讨论了两种类型的不变子空间,即多项式不变子空间和三角函数型不变子空间,并以KZK方程,LRT方程以及mZK方程为例,研究了这两种类型的不变子空间在连续和离散情形下,非线性偏微分方程的精确解的不同之处。本文结构安排如下：
　　第一章是引言,主要给出了连续方程和差分方程的不变子空间的理论方法。
　　第二章,我们研究了一类演化的非线性方程的精确解,通过连续方程的不变子空间方法和差分方程的不变子空间方法来观察两种情形下的KZK方程的精确解。
　　第三章,我们研究了具有多项式类型的不变子空间的LRT方程。在连续和离散情形下,利用不变子空间的方法求出精确解。
　　第四章,我们研究了具有三角函数类型的不变子空间的mZK方程。在连续和离散情形下,利用不变子空间的方法求出精确解。
　　第五章,总结全文并对后续工作进行展望。

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第一章 引 言

S1.1 连续方程的不变子空间

S1.2 差分方程的不变子空间

第二章 KZK方程的精确解

S2.1 连续情形下的精确解

S2.2 离散情形下的精确解

第三章 LRT方程的精确解

S3.1 连续情形下的精确解

S3.2 离散情形下的精确解

第四章 mZK方程的精确解

S4.1 连续情形下的精确解

S4.2 离散情形下的精确解

第五章 总结与展望

参考文献

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