若干非线性方程的非局域对称与怪波解

摘要

近年来,随着科学技术的飞速发展,非线性科学已经成为了一门新的学科,非线性方程在描述各个科学领域之间的复杂物理现象扮演着越来越重要的地位.本文以计算机代数为工具,研究了若干非线性方程的一些问题:非局域对称,精确解,双线性方法,怪波解及P-T对称.主要内容如下:
　　第一章主要简要介绍孤立子理论的研究背景及发展现状,及求解非线性偏微分方程精确解的一些一般常用的方法.
　　第二章是关于(2+1)维Gardner方程的非局域对称及其精确解的研究.通过应用截断的Painlev′e分析得到该方程的留数对称及贝客隆变换,并且根据其延拓系统计算得到其对称群变换.将留数对称局域化之后,利用相容tanh展开法得到该方程的孤立波与椭圆周期波的相互作用解.
　　第三章是关于Benjamin Ono方程怪波解的研究.利用双线性方法和长波极限法去得到它的呼吸解和怪波解,并分析它的解的一些典型性质.其次,在得到怪波解的前提下,通过进一步的研究得到了一些怪波解与其他解的混合解.
　　第四章是关于(2+1)维非线性薛定谔方程满足P-T约化条件下的怪波解的研究.在P-T约化的条件下,通过双线性方法得到该方程的周期解,并对该周期解运用长波极限法得到怪波解.
　　第五章是本文的结论和展望.

目录

第一章 绪 论

S1.1 非线性微分方程若干求解方法简述

1.1.1 反散射方法

1.1.2 双线性方法

1.1.3 潘勒卫截断展开法

1.1.4 对称与约化

第二章 非局域对称及其应用

S2.1 非局域对称简介

S2.2 (2+1)维Gardner方程的非局域对称及其精确解

S2.2.1 非局域对称及其局域化

S2.2.2 CRE可解和孤立椭圆波解

S2.3 本章小结

第三章 多孤子背景的怪波解

S3.1 怪波研究的简介

S3.2 Benjamin Ono方程多孤子的动态怪波解

S3.2.1 Benjamin Ono方程的怪波解

S3.2.2 Benjamin Ono方程的混合解

S3.3 本章小结

第四章 在PT约化条件下的怪波解

S4.1 PT对称简介

S4.2 在PT对称约化下(2+1)维非线性薛定谔方程的怪波解

S4.2.1 二维非局域NLS方程的呼吸解和怪波解

S4.3 本章小结

第五章 结论和展望

S5.1 本文总结

S5.2 未来工作的展望

参考文献

在学研究成果

致谢