Adomian分解法在求解微分方程问题中的应用

摘要

Adomian分解方法是由美国数学物理学家George Adomian在上世纪八十年代提出并发展起来的求解线性和非线性数学物理方程近似解析解的一个有效的数学方法，它用收敛级数的形式构造出方程的显式精确解，且各级数项很容易在计算机上实现。分解法的基本精神是：首先把求解的方程适当地分解为若干部分，把方程的解分解为无穷个解分量，再产生与方程中的非线性项等价的特殊多项式，然后利用逆算符技术由低阶解分量推出高阶解分量，从而得到方程的高精度逼近解甚至精确解。
　　自从分解法提出后，国内外学者给予了极大的关注，并被广泛应用于物理、生物和化学反应中的大量的微分方程求解中。本文在深入学习和研究了分解方法基本原理的基础上，对Adomian分解方法进行了改进和推广，并通过构造新的Adomian分解格式分别对二阶两点边值问题，二阶和三阶的障碍边值问题，以及一类非线性的Schrodinger方程进行了求解，极大地扩展了Adomian分解方法的应用范围，且通过数值试验，从中体会到这种方法无论在精确度，有效性还是在稳定性和可靠性方面的优越性。
　　论文第一章叙述分解方法的基本思想和基本原理，并对方法中涉及到的Adomian多项式，解的收敛性进行讨论。
　　第二章在传统的求解初值问题的Adomian分解方法的基础上，构造了一种改进的Adomian分解格式来求解带混合边界条件的二阶两点边值问题，得到高精度的近似解。并用了一些典型的例子来验证此方法的有效性和优越性。
　　第三章分别给出了求解一类二阶障碍边值问题和一类三阶障碍边值问题的Adomian分解格式，并进行数值实验，结果表明本方法与样条方法和有限差分方法相比具有更高的精度。
　　第四章构造了适用于求解一类非线Schrodinger方程的Adomian分解格式，并用几个典型的例子证明，本方法能快速求得此类方程的精确解。
　　最后在第五章对本文的工作做一个总结，并对后继的研究工作做展望。

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绪论

第一章 Adomian分解方法的基本原理

1．1 Adomian 分解方法的基本思想

1．2 Adomian 分解方法的基本原理

1．3 Adomian多项式的计算

1．4 收敛性分析

第二章 用改进的分解方法求解二阶两点边值问题

2．1引言

2．2 分解格式的构造

2．3 数值算例

第三章 利用分解方法求解障碍边值问题

3．1求解一类二阶障碍边值问题

3.2求解一类三阶障碍边值问题

第四章 用分解方法求解一类非线性Schr?dinger方程

4.1引言

4.2 用Adomian分解方法求解一类非线性Schr?dinger方程

4.3 数值算例

第五章 总结与展望

参考文献