数学竞赛中组合最值问题的探究

摘要

在国内外的数学竞赛中，最值问题一直是最常见的一类题型.随着各类数学竞赛的蓬勃发展，数学竞赛的内容基本稳定在代数、几何、组合和数论四个方面.而最值问题与这四个方面均有密切的联系.尤其是组合最值问题，历年来出题频率一直偏高.组合最值问题的题型相当广泛，涉及的知识非常全面，解法也十分灵活多变.
　　本文通过分析近十年国内外的数学竞赛题，总结了本文涉及到的常见组合最值问题的竞赛知识，整理并归纳了数学竞赛中组合最值问题的八种常见类型.并用相关的典型例题以及推广命题进行说明.本文的创新之处为第四章给出的命题.主要涉及到了组合最值问题的七种类型:集合、平面点线集、方格表染色或填数、数阵、操作、剖分和比赛.通过对原命题加以深化变形.进而得到了16个新的结论.
　　本文通过采用文献分析的方法，研究了数学竞赛中常见的组合最值问题类型并得到了七种类型的新命题.由于最值问题将竞赛数学的各个领域连成一体.因此研究最值问题对于研究数学竞赛有着重要意义.有利于数学竞赛的进一步发展.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 数学竞赛的发展

1．2 组合最值问题的研究背景

第2章 预备知识

2．1 同余

2．2 图论

2．3 抽屉原理

2．4 著名不等式

2．5 欧拉公式

第3章 常见的组合最值问题

3．1 与集合相关的组合最值问题

3．2 与图论相关的组合最值问题

3．3 与数论相关的组合最值问题

3．4 与平面点线集相关的组合最值问题

3．5 与空间相关的组合最值问题

3．6 与方格表相关的组合最值问题

3．7 与比赛相关的组合最值问题

3．8 与操作相关的组合最值问题

第4章 与组合最值问题相关的新命题

4．1 与集合相关的组合最值问题

4．2 与平面点线集相关的组合最值问题

4．3 与方格表相关的组合最值问题

4．4 与数阵相关的组合最值问题

4．5 与操作相关的组合最值问题

4．6 与平面多边形剖分相关的组合最值问题

4．7 与比赛相关的组合最值问题

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文