非阿基米德赋范空间的一般等距与锥度量空间上的不动点定理的研究

摘要

本文一方面针对线性(2，p)-赋范空间和非阿基米德赋范空间，分别对Aleksandrov问题和Mazur-Ulam定理进行了研究；另一方面针对锥超度量空间和锥2-度量空间，研究了不动点定理.并且给出锥度量空间上的Hausdorff度量与锥2-度量空间的一些定义和性质，进而研究了球完备的锥超度量空间上的多值不动点，锥2-度量空间上点列收敛，空间完备与不动点定理，主要的成果包括以下四个方面：
　　第一章在线性(2，p)-赋范空间中对等距和线性关系问题进行了讨论，并证明了Mazur-Ulam定理在线性(2，p)-赋范空间中成立.也即：设X和Y为线性(2，p)-赋范空间，若映射f：X→Y为保内部2-等距，则f为仿射。
　　第二章首先找到了一个新的非阿基米德域的实例，其次分别给出了非阿基米德赋范空间、非阿基米德2-赋范空间与非阿基米德n-赋范空间上等距、一般2-等距与一般n-等距的概念，最后在新的非阿基米德函数下研究非阿基米德赋范空间、非阿基米德2-赋范空间与非阿基米德n-赋范空间上的等距问题.得到如下主要结论：设X和Y为非阿基米德赋范线性空间，且其中任一空间维数大于1.如果(1)映射f：X→Y是Lipschiz映射且Lipschiz常数K=1，即‖f(x)-f(y)‖≤‖x-y‖。(2)f是单射且满足SDOPP，且‖x-y‖≤1时有‖f(x)-f(y)‖=‖x-y‖。则f为一等距。
　　第三章给出了锥超度量空间、锥超度量空间上球完备与锥度量空间上Hausdorff度量的定义，利用空间球完备的性质与Zorn引理证明了锥超度量空间上的多值不动点定理，即当X为球完备的锥超度量空间且映射T：X→2Xc满足以下条件：H(Tx，Ty)()max{d(x，y)，d(x，Tx)，d(y，Ty)}，对于任意的x，y∈X且x≠y.则T在X上存在不动点(即存在x∈X，使得x∈Tx)。
　　第四章给出了锥2-度量空间的定义，针对锥2-度量空间研究了空间上点列收敛、柯西列与空间完备的性质，在此基础上研究了锥2-度量空间上的不动点定理.得到这样结论：设(X，d)为一个完备的锥2-度量空间，映射T：X→X满足如下压缩条件d(Tx，Ty，a)()kd(x，y，a)，对于所有x，y，a∈X，这里k∈[0，1)为一常数.则T在X上有唯一不动点.同时对于任意确定的不动点x∈X，迭代序列{Tnx}收敛于这一不动点。

目录

文摘

英文文摘

第一章(2，p)-赋范空间的Mazur-Ulam问题

1.1 Mazur-Ullam定理的研究现状

1.2 线性p-赋范空间的Mazur-Ulam定理

1.3(2，p)-赋范空间的Mazur-Ulam问题

第二章 非阿基米德赋范空间上等距的刻画

2.1 Aleksandrov问题的提出及研究现状

2.1.1 线性赋范空间的Aleksandrov问题

2.1.2 线性2-赋范空间的Aleksandrov问题

2.2 非阿基米德赋范空间的研究现状

2.3 非阿基米德赋范空间等距的刻画

2.4 非阿基米德2-赋范空间等距的刻画

2.5 非阿基米德n-赋范空间等距的刻画

第三章 锥超度量空间上的不动点定理

3.1 锥度量空间的研究现状

3.2 锥超度量空间上的不动点理论

第四章 锥2-度量空间的完备性及不动点定理

4.12-度量空间的研究现状

4.2 锥2-度量空间的完备性

4.3 锥2-度量空间上的不动点定理

4.4 锥2-度量空间中的开问题

参考文献

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