Hilbert空间中多重集合分裂可行性问题的研究

摘要

设Ci()Rm，i=1，2，…，t，Qj()Rn，j=1，2，…，r..Rm，Rn分别是m维和n维Hilbert空间上的的非空闭凸子集.由Censor提出的多重集合分裂可行性问题(MSSFP)，是指找到一个向量x∈∩ti=1Ci使得Ax∈∩rj=1Qj，其中A是一个给定的M×N实矩阵.它可以作为许多反问题的模型，在这些模型中约束条件不仅在线性算子的定义域上，也在算子的值域上.MSSFP在实际中有很多具体的应用.例如在医学领域，图像恢复问题和信号处理等方面.本文在Hilbert空间讨论了解决MSSFP的迭代方法.全文分三部分，第一部分介绍了多重集合分裂可行性问题知识背景和研究状况.众所周知，在无限维Hilbert上，Byrne的CQ迭代仅仅是弱收敛的.在第二部分，我们提出了修正的CQ迭代，这个迭代是强收敛的，且它的极限是MSSFP的最小范数解.本章提出方法修正和改进了一些学者的最新研究成果.现在已经被提出的很多迭代都使用了一个与Lipschitz常数有关的固定步长，并且需要计算矩阵ATA的最大特征值.为了解决多重集合分裂可行性问题，在第三部分，我们首先采用Armijo-like搜索规则提出了一个自适应的投影方法，这个方法不需要估算Lipschitz常数和计算ATA的最大特征值.而且，它使得目标函数在每一次迭代中都有一个充分的下降.然后我们又介绍了一个松弛的自适应投影方法，此方法中我们使用到半空间的投影取代了到凸集上的投影.显然，后者是更容易去实施的.这些方法的全局收敛性都在适当的条件下被证明。