非对称广义特征值问题及其在可坍塌槽道流研究中的应用

摘要

求解大规模特征值问题是当今科学与工程计算界的热点之一。最近几十年，在大型非对称矩阵特征值问题的数值求解方面已经取得了巨大的进展，有子空间迭代法、ABLE算法、QZ算法、Arnoldi算法等。然而大多数情况下，我们不是关心矩阵的所有特征值，而是关心它的部分特征值，比如实部最大(最小)、模最大(最小)、虚部最大(最小)的几个特征值。 可坍塌槽道流在生理流场研究和医疗装置设计中都很常见且应用广泛。由于可坍塌槽道流的模型较小，单元较小，网格较密，因此求解十分困难。Arnoldi算法是一种求解大型稀疏矩阵部分特征值的算法，且重启动策略使得Arnoldi算法在存储空间和求解速度方面都有明显优势。因此很有必要将Arnoldi算法引入到可坍塌槽道流研究中。 第一章概述了大规模矩阵问题的来源，以及求解这类问题的一些常用数值方法等。第二、三章分别介绍了QZ和Arnoldi算法。第四章针对Arnoldi算法软件，提出了几种矩阵矢量积，并给出相应的推导。第五章将隐式重启动Amoldi算法引入到可坍塌槽道流的研究中。 本文主要工作：在熟悉并推导了隐式重启动Arnoidi算法的原理及公式，以及熟练使用相关软件之后，针对于Arnoldi算法的特点，提出了由单元矩阵直接写矩阵矢量积的方法，并且对此进行了公式推导及程序举例，同时编写出求解非对称广义特征值问题的程序。该程序可以用于求解刚度矩阵非对称、质量矩阵对称半正定的广义特征值问题。由于可坍塌槽道流问题的质量矩阵不是对称半正定，因此这个求解程序在可坍塌槽道流研究中不好用，对此又提出了几种改进策略，并对这几种策略逐一进行推导并且尝试计算，最终得到了合适的策略，编写出适合可坍塌槽道流问题的特征值求解程序，该程序也可以用于求解刚度矩阵和质量矩阵同时非对称的广义特征值问题。之后使用QZ算法程序和隐式重启动Arnoldi算法程序，分别对可坍塌槽道流特征值问题进行求解，求解实部最大的特征值，其中特征值最大实部为零的点即为所求的中性点。然后将两种方法在求解时间上进行比较，也将得到的特征值在精度上进行比较。最后根据有限元程序计算得到的关键点所对应的Clamda和Re值，拟合出一条Clamda—Re曲线，分析曲线，得到稳定区和不稳定区。

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第一章绪论

1.1矩阵问题

1.1.1大规模特征值问题的来源

1.2投影类方法

1.2.1 Arnoldi方法与块Arnoldi方法

1.2.2 Lanczos方法与ABLE方法

1.2.3子空间迭代法

1.2.4 Davidson方法与Jacobi-Davidson方法

1.2.5调和投影方法

1.2.6精化投影方法

1.3可坍塌槽道流

1.4本文工作

第二章求解广义特征值的QZ算法

2.1 QZ算法基本理论

2.1.1 QZ算法理论基础与依据

2.1.2约化到中间矩阵

2.1.3 QZ算法

2.1.4双重步QZ算法

2.1.5收缩过程

2.1.6进一步三角形化

2.2 QZ算法的实现

第三章Arnoldi算法及重启动Arnoldi算法

3.1.Arnoldi算法

3.1.1基本的Arnoldi分解

3.1.2重新正交化方法

3.2重启动Arnoldi算法

3.2.1 QR算法

3.2.2重启动Arnoldi策略

3.2.3隐式重启动Arnoldi算法原理(IRA)

3.2.4隐式收缩技术

3.3位移-求逆变换求解非对称广义特征值

第四章IRA和矩阵矢量积

4.1 Matlab6.5.1

4.2 ARPACK软件包

4.2.1 ARPACK的计算模式

4.2.2逆通讯技术和矩阵矢量积

4.2.3新矩阵矢量积

第五章隐式重启动Arnoldi算法在可坍塌槽道流中的应用

5.1数学模型

5.1.1模型及参数

5.1.2无量纲控制方程

5.2有限元模型

5.2.1有限元方程

5.2.2特征值方程

5.3根据隐式重启动Arnoldi算法编程

5.4求解特征值过程

5.5结果及曲线

5.6结论及展望

参考文献

发表论文和科研情况说明

致谢