一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用

摘要

浅水方程在海洋、河流、气候模拟、海洋生物学和环境等众多领域有着广泛的应用,例如风暴潮、海啸和洪水的预测,泥沙和污染物的输运等。
　　 本文在一维浅水方程组的基础上建立了二阶Runge-Kutta间断有限元数值模型,并成功应用于复杂地形条件下间断浅水流动的数值模拟。本文的主要内容和结论如下:
　　 (1)从守恒形式的浅水方程组出发,对求解区域进行单元剖分,并在单元上对方程进行积分。在模型的空间离散过程中,跨单元边界处采用HLL和HLLC的近似Riemann解算子形式的数值流向量,将非线性方程转化为线性方程；在时间离散过程中,采用具有TVD性质的三阶Runge-Kutta时间离散方法。
　　 (2)模型建立过程中,为了抑制间断处的非物理伪振荡,采用了间断检测器结合斜率限制器或稳定算子的方法。考虑了对底坡源项的离散处理,使模型能够处理复杂地形条件下包含强间断的浅水流动问题,并建立了一种均衡格式的Runge-Kutta间断有限元数值模型。
　　 (3)将本文建立的Runge-Kutta间断有限元数值模型对浅水流动中的一些经典或存在解析解的算例,例如理想化溃坝问题、稳定水体微小扰动问题、跨临界流问题、水跃、潮波以及涌潮等问题,进行了数值模拟。而且在模拟过程中考虑了非棱柱体渠道、不连续底坡等实际情况。所有计算结果与解析解吻合较好,在间断处不含非物理的伪振荡,从而验证了模型的正确性与适用性。