对称张量的对称分解及其最佳低秩逼近

摘要

张量是矩阵的高阶推广，随着传统的矩阵理论在处理数据上体现出来的局限性，张量分析成为科学与工程领域中应用的一个重要工具，其中张量的分解与张量的最佳低秩逼近问题是近来研究的热点之一，其在许多方面比如信号处理，通信数据，计算机视觉，以及图像处理等上有着及其广泛的运用，对称张量是张量中非常特殊且重要的一类，可看成是对称矩阵的高阶推广，也是近年来研究的热门话题.
　　本文的主要工作分为两个部分，第一部分即第三章，主要研究对称张量对称分解唯一性的问题，首先推导出三阶对称张量对称分解唯一性的充分条件，由此推导出任意阶对称张量对称分解唯一性的充分条件，本文的第二部分则主要研究了关于对称张量最佳对称低秩逼近问题，首先我们证明了对任意阶对称张量，均存在最佳对称秩-1逼近，其次，我们讨论了当对称张量A的对称秩ranks(A)＞r时，对于阶数大于2的高阶对称张量，一般情况下并不存在最佳秩-r逼近，证明对某些特殊的k阶对称张量，其不存在最佳秩-2逼近，最后，当我们将条件限定为非负时，我们证明了非负对称张量必定存在最佳非负对称秩-r逼近.

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第一章 前言

1.1 研究背景与意义

1.2 本论文的结构及研究的主要内容

第二章 预备知识

2.1 数组和张量

2.2 张量的秩与对称张量的对称秩

2.3 张量与矩阵的n-模积，矩阵的Kronecker积和Khatri-Rao积

第三章

3.1 张量的CP分解

3.2 n阶对称张量对称分解唯一性的充分条件

第四章

4.1 n阶对称张量的最佳对称秩-1逼近

4.2 n阶对称张量的最佳对称秩-r逼近

第五章 结束语

参考文献

发表论文和参加科研情况

致谢