微分包含强吸引子的光滑Morse-Lyapunov函数及其应用

摘要

本文主要研究微分包含:x'(t)∈F（x（t)）， x(t)∈Rm的强吸引子的Morse分解的光滑逆Lyapunov定理，其中F是Rm上的具有紧凸值的上半连续的集值映射.设(A)是系统的一个强吸引子，吸引域为Ω.又设(A)有Morse分解:M={M1，…,Ml}.我们将构造一个径向无界函数V∈C∞(Ω)，满足:
　　(1)V在每一个Morse集Mk上为常值;
　　(2)V沿Ω内的Morse集以外的任何解都严格递减.这一结果即使退回到光滑系统的情形也是首创的.而且，我们构建的方法既不同于文献，也不同于其它文献，我们的方法更直接、简单、易于使用.
　　光滑Lyapunov函数在系统的稳定性分析、控制系统反馈控制器的设计与鲁棒性分析等问题的研究中起着举足轻重的作用.作为吸引子的光滑Morse-Lyapunov函数应用的例子，我们首先讨论系统的渐近稳定性关于外部扰动的鲁棒性问题，这对非线性控制理论具有重要意义.我们将证明对任意ε＞0和紧集K(C)Ω，当外部扰动充分小时，扰动系统x'(t)∈F(x(t))+h(t)的从K中出发的解最终将进入并驻留在某一Morse集Mj的ε-邻域内，即x(t)∈B(Mj，ε)对充分大的t.
　　作为吸引子的光滑Morse-Lyapunov函数的又一应用，我们将从形理论的观点研究吸引子的拓扑简单性问题.在一般情况下,吸引子的几何结构通常是相当复杂的.然而，这里我们证得系统(3.1)的吸引子(A)与其任意吸引子邻域O有相同的形，特别地，全局吸引子与单点集有相同的形.这些结果将Kapitanski等人关于光滑系统的相关结论推广到非光滑系统，表明非光滑动力系统的强吸引子不比光滑动力系统的强吸引子更复杂.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 研究背景与现状

§1．2 研究内容与主要工作

第二章 广义动力系统的基本知识

§2．1 广义动力系统的基本概念

§2．2 广义动力系统的Morse分解

第三章 微分包含的Morse分解

§3．1 解集的基本性质

§3．2 动力学概念

§3．3 微分包含强吸引子的Morse分解

第四章 吸引子的光滑Lyapunov函数

§4．1 局部Lipschitz的F与局部Lipschitz Lyapunov函数

§4．2 局部Lipschitz的F与光滑Lyapunov函数

§4．3 一般情形：定理4．1和定理4．2的证明

§4．4 光滑Morse-Lyapunov函数

第五章 Morse-Lyapunov函数的应用

§5．1 渐近稳定性关于外部扰动的鲁棒性

§5．2 吸引子的拓扑简单性

§5．2．1 拓扑形

§5．2．2 形变与形

§5．2．3 吸引子的形

参考文献

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