基于高阶梁理论和偶应力理论的梁振动分析

摘要

随着科学与工程技术的发展，特别是MEMS的兴起，梁横向振动高阶频率的预测精度，包括振动波长与梁高度接近时的振动频率，显得越加重要。例如，对于长高比较小的悬臂微梁探针，即使在振动阶次不是很高时，其波长就可能与梁高度接近。所以说，微梁的高阶振动，特别是振动波长与梁高度接近时的频率预测对于MEMS的设计也十分有意义。但是现有的工程梁理论对于梁的较高阶次的频率预测都不能给出理想的精度。
　　本文基于Shi的改进高阶梁理论和采用偶应力理论考虑梁微元体刚体转动的动能，用哈密顿原理推导了梁横向振动的变分一致的运动方程。所得运动方程是以梁挠度与横截面的平均转角为基本变量的六阶偏微分方程，并且含有一个待定的特征尺度。并且讨论了几种工程中常用梁理论的变分一致边界条件中的惯性效应。
　　通过考虑极限条件下（波长趋于零时）的相速度极值，利用参数匹配法求得梁在横向振动时的材料内禀尺度。求解了无限长梁的振动波长趋于梁高度时的相速度，讨论了通过不同方法确定材料内禀尺度的优劣。结果表明，当梁的振动波长趋于梁的高度时，偶应力对梁的横向振动频率有较大的影响。
　　同时采用Shi的改进高阶梁理论和拟协调元法推导了考虑偶应力效应的两节点梁单元，以及求解了不同边界条件下梁的高阶频率。数值算例表明，本文所给梁单元不仅计算效率高，且计算准确。

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符号注释表

第一章 绪论

1.1 研究背景和意义

1.2 常用的工程梁理论

1.3 基于偶应力理论的梁理论

1.4 本文研究内容

第二章 偶应力理论

2.1 偶应力理论的发展

2.2 Mindlin偶应力理论

2.3 修正的偶应力理论

第三章 考虑微元体刚体转动的梁运动方程和边界条件

3.1 微元体转动动能

3.2 运动方程的推导

3.3 变分一致边界条件的讨论

3.4 本章小结

第四章 特征尺度和梁振动的相速度

4.1 一种确定特征尺度的方法

4.2 Rayleigh波速

4.3 梁横向振动相速度

4.4 本章小结

第五章 考虑偶应力理论的梁单元

5.1 高阶梁单元位移场表达形式的选择

5.2 梁单元的推导

5.3 算例分析

5.4 本章小结

第六章 结论与展望

6-1 结论

6-2 展望

参考文献

发表论文和参加科研情况说明

致谢