非线性动力学系统的多目标优化控制设计

摘要

动力学系统可以描述状态空间中的点随时间演化的运动规律，可以由一组微分（或差分）方程来表示。根据动力学系统方程的表达形式，可以将其分为线性系统和非线性系统两种。
　　线性系统严格遵守叠加原理，系统输出与系统输入成比例关系。满足叠加原理的线性系统可以由一组线性常微分方程来描述。如果线性系统的参数不会随着时间的变化而变化，我们称其为线性时不变系统，即线性时不变系统既满足叠加原理又具有时不变的特性。对于通过时域来描述的带有控制的线性系统，有很多种追踪控制设计方法可以使得我们的系统沿着我们所设定的轨迹去运行，例如传统的比例积分微分（PID）设计方法，线性二次型最优控制设计方法（LQR）以及全状态反馈方法等。除了时域设计以外，还可以将线性时不变系统转换为频域中的表达方式来进行处理，常用的频域处理方法有多种，例如拉普拉斯变换（拉氏变换），傅里叶变换，Z变换方法，根轨迹法，伯德图以及奈奎斯特稳定性准则等。这些频域处理方法通常使用诸如带宽，频率响应，特征值，增益，共振频率，极点和零点等术语来描述。由于线性控制设计不是本论文的研究重点，我们在此不做过多的叙述。
　　非线性系统可以由一组非线性常微分方程进行描述，然而不同于线性系统的是，非线性系统往往不满足叠加原理。由于非线性系统本身的复杂性，针对于非线性系统的求解以及控制设计往往没有通用的方法，而特定的方法主要针对一些特定的系统适用。非线性系统的求解分析方法有多种，主要有极限环理论，庞加莱映射，李雅普诺夫稳定性理论以及描述函数法等。如果我们只是针对于某一点附近的动力学行为感兴趣，我们将该非线性系统在该点处进行局部线性化进行级数展开近似处理，从而现有的线性处理方法在此处可以使用。对于非线性系统的分析通常也可以通过数值计算方法进行，比如通过计算机语言对其进行仿真。非线性控制器同样适用线性系统并且具有易执行、速度快、精度高以及能耗低等特点，但是非线性控制器的设计是一个复杂的过程。非线性控制器设计的复杂性主要由于非线性系统本身的复杂性所带来的，比如多平衡点、存在极限环、具有分叉现象以及可能产生混沌等。
　　物理模型本质上都是非线性系统，在物理模型建模的过程中往往会产生不确定性。这些不确定性可能来自于实际系统的不确定性，如未知的系统参数，或因为对系统动态进行有目的的简化，如建模时把摩擦处理为线性的或省略机械系统的结构模态。第一类不确定性事实上包含在模型的某些项中，而第二类是系统阶数不精确。建模不精确对非线性控制系统有很强的不利之处。鲁棒控制对于存在不确定性的动力学系统是一种有效控制方法。鲁棒控制的典型结构由两部分组成，一是类似于反馈线性化或逆控制规律的标称部分，二是处理模型不确定性的附加部分。
　　在众多非线性系统控制设计方法中，滑模控制是一种非常简单有效的鲁棒控制方法。对于滑模控制所适用的动力学系统，滑模控制器设计为解决有建模不准确的情况下使系统保持稳定性和一致性问题提供了系统的方法。滑模控制已经成功地应用于机器人操作、水下交通工具、自动传输与引擎、高性能电动机和电力系统。滑模控制的基本思想是，首先驱动所要控制的动力学系统运行到一个滑模面（即状态空间中的一个流形）上，然后驱使该动力学系统沿着该滑模面一直朝着所希望的稳定状态运行。如前所述，不确定性在动力学系统建模过程中是在所难免的，而滑模控制属于一种鲁棒性变结构控制方法，在处理系统建模不确定方面是一种十分有效的控制方法，尤其是对于系统不确定性上下边界已知的问题。
　　虽然滑模控制方法可以很好地控制带有建模不确定性动力学系统，但是所设计的控制器往往带有多个参数需要人为的选定，这些参数的选取直接影响着控制器的控制稳定性和控制效果。因此如何有效的选取参数使得所设计的滑模控制器实现最优的控制效果是一个值得研究的问题。滑模控制器的多目标优化设计可以实现控制器参数的优化，并且可以使得所设计的滑模控制器可以满足时域或者频域中所设定的多个目标函数同时取得最优值。在多目标优化设计中所设定的多个目标函数之间往往是相互冲突的（其中一个目标函数值增大，另外几个会随之减小）。同时，在控制器参数的优化过程中不得不考虑的问题是系统的硬件能力，比如硬件所能提供最大的电压、电机所能产生的最大扭矩等，这些不得不考虑的问题往往使得多目标优化设计更具有挑战性也更具有实际应用价值。
　　多目标优化广泛存在于各种工程优化问题中，通常考虑若干相互制约的优化指标。在多目标优化中，由于有多个相互冲突的目标函数，使得多目标优化问题的解不再是参数空间中单个点，而是由一系列点组成的集合，我们称该集合为帕累托集合（Pareto Set）。帕累托集合里的任意两个点满足非劣性，也就是无法找到一个解在多目标意义下比另一个解更优。多目标优化往往能给出一个较宽的设计范围，因此在实际工程中，多目标优化设计具有很强的优势。
　　解决多目标优化问题的关键在于能否找到全局的帕累托集合。传统的目标加权虽然能将多目标问题转为单目标，但其权重参数的选择往往基于经验。随着演化算法的逐步兴起，基于生物种群演化的多目标优化启发式算法逐渐得到重视。演化算法的优势在于通过模拟生物种群的演化过程，能够用较少的计算量得到尽可能覆盖全局的非劣解集。其缺点是无法保证算法的收敛性和全局性。此外，演化算法是一种基于随机搜索的算法，在应用中通常需要多次运行，通过统计的办法确认多目标优化解集在参数空间的位置。文献中多目标优化问题的求解方法有多种，诸如仿生优化算法中的基因算法（Genetic Algorithm，GA），蚁群算法（Ant Colony Optimization,ACO），免疫算法（Immune Algorithm,IA）以及粒子群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）等。除此之外，将多目标优化问题转化为单目标优化问题并运用最速下降方法进行搜索求解也是一种求解多目标优化问题的方法。胞映射方法最早由著名力学家徐皆苏先生于上世纪八十年代提出，该方法最初是用来解决非线性动力学的全局问题的。后来将胞映射方法应用到了求解多目标优化问题中，为求解多目标优化问题全局最优解集提供了一种高效快速的途径。基于胞映射方法本身易于并行操作的特点，并行胞映射的出现为求解高维多目标优化问题提供了重要的工具。通过并行简单胞映射方法，我们可以快速高效地求解高维多目标优化问题得全局最优解。
　　在控制系统中，由于测量元件或者测量过程的原因，信号传递往往具有一定的时间延迟，这种时间延迟在动力学系统中被称作时滞。比如蒸气和流体在管道中的流动,电信号在长距离导线上的传递,都有时间延迟。含时滞的动力学系统我们称作时滞动力学系统，可以由一组时滞微分方程进行描述。时滞系统的一大特点是系统状体变量的导数不仅依赖于系统当前的状态，而且依赖于系统在过去某一时刻或某一历史时期的状态。在一个具体控制系统中，时滞可能由测量元件或测量过程造成，也可能由控制控制器和执行器造成，或者由它们共同造成。时滞在动力学系统中是普遍存在的并且对动力学系统行为有很大的影响。一些对时滞不敏感的系统往往在建模型的过程中可以把时滞忽略掉，然而对于一些特殊系统必须要考虑时滞。
　　时滞的存在会降低系统的控制品质甚至会导致闭环系统失稳。对于时滞控制，学术界有着众多的研究方法，主要可以分为基于模型的方法和无模型方法。基于模型的方法有Smith预估补偿控制、自适应控制、预测控制、滑模控制以及鲁棒控制等方法，而无模型控制方法主要有模糊控制、神经网络控制以及专家系统等方法。时滞动力学系统的稳定性的研究也是一项非常重要的内容。应用李雅普诺夫稳定性理论研究时滞动力学系统稳定性是一种常用的方法。Garg等提出了一种应用有限元法研究参数激励的时滞动力学系统稳定性的方法。Kalmar-Nagy针对于带有单时滞线性微分方程应用分段求解精确解的方法创建一个映射，进而对时滞系统稳定性进行分析。Gu和Niculescu针对于时滞系统稳定性以及控制问题作了详细的调查研究。对于带时滞的定常线性系统，有几种常用的方法可以用来进行PID控制设计和稳定性分析。根轨迹法和奈奎斯特准则是比较成熟的两种方法。结构力学和流体力学中，半离散法很受欢迎并且有广泛地应用。Insperger和Stepan将半离散法应用到求解时滞动力学系统并取得很好的结果，随后Sheng和Sun将此方法引入到时滞反馈控制中。Sun扩展了半离散方法并且提出了连续时间近似法，该方法可以处理动力学系统中带有多个相互独立时滞的问题。Deshmukh， Butcher和Bobrenkov等人将切比雪夫多项式引入到连续时间近似法，大大提高了时滞动力学系统求解的精度。滑模控制在时滞动力学系统控制中也是一种非常有效方法，尤其在处理不确定性系统问题中。该方法具有适应性强、鲁棒性好的特点，在处理欠驱动系统时滞控制中发挥了出色的表现。
　　本论文是对博士研究过程中所做的研究工作的整理和总结，主要内容分为非线性动力学系统的多目标优化控制设计和时滞动力学系统控制两部分。所研究的非线性控制方法主要为滑模控制，对滑模控制的滑模面设计和控制器设计有较详细介绍，并且对欠驱动系统滑模控制中滑模面和滑模控制器的稳定性分析做了详细研究。完成了滑模控制器的理论设计之后，在参数空间中对控制器进行了多目标优化，并选用多种多目标优化算法对此多目标优化问题进行求解，得到满足要求的帕累托最优解集。在求解多目标优化问题中主要采用了胞映射算法，而并行运算贯穿始终用于多目标优化问题加速求解。除此之外，对多输入多输出非线性动力学系统进行多目标优化控制设计。最后针对于时滞动力学系统控制中的几种控制方法开展了相关研究，通过数值仿真和实验手段对比了几种方法的优缺点。下面对本论文中所做的具体工作做简要介绍：
　　1、非线性动力学系统模型
　　在本论文中，主要研究对象有三个：旋转倒立摆系统、旋转柔性关节系统和二自由度直升机模型系统。其中前两个实验装置为欠驱动系统，各有一个直流伺服电机提供动力输入，其输入电压或所提供的扭矩可以作为控制系统的控制器部分。
　　(1)旋转倒立摆系统由旋转臂、摆臂和直流电机三大部分组成。该系统具有两个平衡点，一为稳定平衡点（竖直向下位置），一位不稳定平衡点（竖直向上位置）。该实验装置理想的运动方式是通过旋转臂的小幅度摆动控制摆臂稳定在竖直向上的不稳定平衡点处。
　　(2)旋转柔性关节系统由旋转基座、旋转臂和直流电机三大部分组成。其中，旋转基座和旋转臂之间由一对弹簧进行连接，用来模拟柔性连接系统。该实验装置理想的运动方式是通过直流电机驱动旋转基座追踪某一信号，进而旋转基座通过一对弹簧带动旋转臂运动并保持与旋转基座运动一致。简而言之，通过对电机施加控制，使得旋转基座和旋转臂之间的柔性连接变为刚性连接。
　　(3)二自由度直升机模型系统由机身、底座、两个螺旋桨以及两个直流电机等部分组成。该系统为二输出二输出系统，具有俯仰(pitch)和偏航(yaw)两个自由度,每一个自由度通过一个直流电机进行驱动，两个自由度之间相互耦合，该实验装置可以用来研究多输入多输出耦合动力学系统的控制问题。三个动力学系统的详细建模过程在后续章节有详细介绍。
　　2、非线性动力学系统的滑模控制及其多目标优化
　　该部分是基于旋转柔性关节系统展开的研究，是论文的重要组成部分。首先对该欠驱动系统的滑模面和滑模控制器进行设计，对两者的稳定性进行了分析。通过该工作找到了滑模面保持稳定的条件，为后续多目标优化提供了约束条件并确定了优化设计的参数空间范围。然后对所设计的滑模控制器进行多目标优化，优化参数为四个滑模面参数、一个饱和边界厚度和一个控制器稳定性裕度，优化指标为旋转基座的超调量、上升时间，旋转臂和旋转基座之间的相对转角，旋转基座追踪信号的积分误差以及旋转臂的累积误差。优化参数、优化指标以及约束条件等共同组成了6输出5输出的多目标优化过程。然后通过简单胞映射算法对该多目标优化问题进行求解。为了加速求解过程，对简单胞映射算发进行并行运算(基于CUDA/C++)开发，结果表明通过并行运算大大提高了运算效率。
　　3、多目标优化滑模控制设计的鲁棒性实验研究
　　基于多目标优化设计的滑模控制开展鲁棒性实验研究。所涉及的实验包括以下几部分：
　　(1)不改变原系统的任何参参数，作为后续实验的参考系统。
　　(2)改变旋转基座的转动惯量引入旋转基座惯性不确定性，通过在旋转基座安装附加质量实现。
　　(3)改变旋转臂的转动惯量引入旋转臂惯性不确定性，通过在旋转臂安装附加质量实现。
　　(4)改变旋转基座和旋转臂之间的连接刚度引入刚度不确定性，通过更换弹簧和增加弹簧数量实现。
　　(5)改变系统估计误差的上下界。滑模控制设计过程中需要对系统进行估计处理，但是系统不确定性的上下边界需要已知，研究不同估计上下边界对滑模控制设计具有很重要意义。通过以上五种情况进行大量实验，发现经过多目标优化设计的滑模控制器具有很好的鲁棒性，能够克服人为引入的各种不确定性影响而很好的控制系统运动并保持系统稳定。
　　4、多目标优化控制设计的后处理问题
　　多目标优化设计的结果为由一系列点所组成的集合，该集合往往包含成千上万的解。在工程中如何有效的应用这些解属于多目标优化的后处理问题。首先，对满足要求的解集进行聚类分析，并对所求得的解进行自动分类，聚类数量由优化指标所决定。在所得到的每一个聚类中找出最具有代表性的一个解(往往是离聚类的中心最近的一个点，这种取法可以兼顾各个优化指标，是一种折中取法)，然后对各个选出的解进行切换控制。通过这种处理方法可以更大程度上发挥多目标优化的优点，更全面的考虑优化结果中的每一种情况。结果表明，经过后处理后的控制效果可以实现一定程度的提升。
　　5、多输入多输出系统的多目标优化控制
　　该部分基于二自由度直升机模型进行。由于自由度的增加使得多目标优化问题的维度大幅度升高。该系统进行一个简单的PID控制，选取6个优化指标对该控制器额12个增益参数进行多目标优化设计，形成了12输入6输出的多目标优化问题。如何对如此高的问题进行全局最优求解是一项很有挑战的工作。在本论文中通过分段优化降维处理将该优化问题变为一8输入6输出的多目标优化问题，大大降低了计算量。优化求解方法为并行简单胞映射方法。除此之外，还应用多目标粒子群算法对12输入6输出问题进行了求解。通过比较发现经过降维处理后用胞映射求解的结果最好，主要表现在控制效果好、所需控制能量少以及计算时间短等方面。
　　6、时滞控制
　　时滞往往产生于信号的传输过程，对系统的稳定性有很大的影响。为了研究时滞在控制中的影响以及如何实现很好的时滞控制，本部分基于倒立摆系统和柔性关节系统展开研究。找出使系统失稳的最大时滞参数(模拟控制器信号在传输过程中存在的滞后)，应用半离散控制方法、高阶控制方法、连续时间近似方法以及滑模控制对系统进行时滞控制。仿真和实验表明这几种方法都能很好的控制含有时滞的系统，其中滑模控制方法可以实现系统含有不确定性的时滞控制。

目录

声明

Nomenclature

Abbreviation

Chapter 1 Introduction

1.1 Linear and Nonlinear Control

1.2 Time-delayed Dynamic System

1.3 Outline of the Thesis

Chapter 2 Methods for Control Design

2.1 Linear Control

2.2 Nonlinear Control

2.3 Time Delay Control

Chapter 3 Multi-objective Optimization

3.1 Problem Statement

3.2 Genetic Algorithm

3.3 Particle Swarm Optimization Algorithm

3.4 Simple Cell Mapping Method

Chapter 4 Multi-objective Optimal Sliding Mode Control

4.1 System Modeling

4.2 Multi-objective Optimal Design

4.3 Robustness Study

4.4 A Post Processing of Multi-objective Optimal Design

Chapter 5 Multiple Input Multiple Output System

5.1 Dynamical Modelling of a Helicopter Module

5.2 Control Formulation

5.3 MOP Design with Cell Mapping Method

5.4 MOP Design with Particle Swarm Optimization (PSO)

5.5 A Comparison Study

Chapter 6 Control of Time Delay Dynamical Systems

6.1 Single Inverted Pendulum

6.2 Rotary Flexible Joint

Chapter 7 Concluding Remarks

参考文献

发表论文和参加科研情况说明

致谢