相位恢复问题的数学模型及精确恢复条件的几何刻画

摘要

相位是物体的一种内在属性，并且记录着关于物体结构的一些重要信息。在实际中，探测器不能直接测量物体入射波的相位，并且只能记录它的振幅。通过已知的强度观测值来重构相位的过程称为相位恢复。相位恢复在X-射线晶体学、光学、量子力学、及信号处理等诸多领域有着广泛的应用。 相位恢复问题的研究包括两个方面：理论和算法。在算法方面，从最经典的迭代相位恢复算法到PhaseLift，已经有了较为成熟的发展。而在理论方面，压缩感知的兴起给相位恢复的理论研究提供了新的研究思路和方法，因此，本文研究了相位恢复和压缩感知相结合下的新问题：稀疏相位恢复问题。 首先，本文建立了部分稀疏相位恢复问题的理论框架，旨在将相位恢复问题中的零空间性质和强限制等距性质推广到部分稀疏相位恢复问题中。并提出了部分零空间性质(P-NSP)和部分强限制等距性质(P-SRIP)，接着，证明了这两个性质是部分稀疏相位恢复问题的精确恢复条件。同时也证明了随机高斯矩阵A∈Rm×n当满足m=O(t(k?r)log(n?r/t(k?r)))时，以高概率满足P-SRIP。 其次，本文研究了带干扰信号的稀疏相位恢复问题。针对该问题，本文提出了广义的部分强限制等距性质(GP-SRIP)，该条件是部分强限制等距性质(P-SRIP)的推广。有趣的是， GP-SRIP常数要比P-SRIP常数更紧，因此GP-SRIP表现要更好一些。最后，文章证明若随机高斯矩阵A∈Rm×n满足m=O(tk log(n?|T|/tk e))，则该矩阵以至少1?(n?|T|/tk e)?tk的概率满足GP-SRIP。

目录

声明

第1章 绪论

1.2 稀疏相位恢复问题的研究现状

1.3 研究方法

1.5 文章结构

第2章 预备知识

2.1 压缩感知理论

2.2 稀疏相位恢复问题理论

第3章 部分稀疏相位恢复问题

3.2 部分零空间性质

3.3 部分强限制等距性质

3.4 小结

第4章 广义的部分稀疏相位恢复问题

4.2 SRIP的几何刻画

4.3 广义的P-SRIP

4.4 小结

第5章 总结与展望

5.2 未来工作展望

参考文献

发表论文和参加科研情况说明

致谢