充填半径，充填体积和体积增长

摘要

M.Gromov在其开创性文章“充填黎曼流形”中，证明了大量有趣的结果，并引入了许多新的几何不变量，其中两个重要的概念是充填半径和充填体积。充填半径是许多重要工作的一个基本要素，例如R.Greene和P.Petersen通过充填半径的下估计改进了一些有限性定理，F.Wilhelm对带有大充填半径的正曲率流形，获得了很好的结果。“这两个不变量很有可能在黎曼几何的未来发展中起重要作用”(M.Berger)。 本文旨在获得某些黎曼流形的充填半径、充填体积的下界，进而给出其应用。 这篇学位论文由三部分组成.在第1章，我们首先建立了充填半径的一个映射性质，利用这个性质我们证明了下面的定理A.对于任何闭的、定向的、非正曲率流形V，我们有FillRad(V)≥Injmax(V)/π·FillRad(Sn)≥Injmax(V)/4其中Injmax(V)=max{Injx(V)：x∈V}. 作为其推论，我们可以部分地回答Greene和Petersen的一个猜想：所有凸半径为π/2的黎曼流形V满足FillRad(V)≥FillRad(Sn). 推论B.Greene-Petersen猜想对非正曲率流形成立。我们也附带地建立了装填半径的一个映射性质，作为其推论，获得了一个微分球定理。 第2章旨在下估计充填体积，主要结果如下：定理C.设V是一个紧黎曼流形，且有相同的维数和第一Betti-数：dim(V)=b1(V)=n.如果V的Abel-Jacobi映射的度是±1，则存在一个常数cn＞0使得FillVol(V)＞cn·stsys1(V)n+1其中stsys1(V)是V的稳定1-systole. 定理D.设一个紧的、定向的黎曼n-流形V被划分q个n-单形：△n1，…，△nq，对任意x∈V，如果x到它所在的单形的(n-1)-面的距离之和≥δ，则存在一个常数cn＞0使得FillVol(V)＞cn·q·δn+1.此外，我们也给出了FillVol(Sn)的一个粗糙的下界，并对非正曲率的流形推导了一个Berger-型的充填不等式. 第3章旨在试探Gromov关于一致可缩黎曼流形体积增长的一个猜想，我们获得了部分结果：定理E.如果一致可缩的黎曼流形(M，g)K-拟等距于一个n维赋范空间(Vn，‖·‖)，(K≥1)，则有limR→∞infVolg(BallR)/Rnωn≥1/K2n其中ωn是单位欧氏球的体积. 推论F.如果Mn是一致可缩的并且dGH((M，dg)，(Vn，‖·‖＜∞，则M至少有欧氏体积增长。 此推论覆盖了D.Burago和S.Ivanov的一个结果。定理E的获得是受到了Gromov的—个体积增长定理的启发，本章也给出了此体积增长定理的一个详尽证明。我们使用相同的论证方法，推导了这个体积增长定理的一个一般化，它被Gromov指出，但没有证明。

目录

文摘

英文文摘

致谢

Chapter 1. The mapping properties of filling radius and packing radius and their applications

§1. Introduction

§2. Proof of the mapping property of filling radius

§3. Estimates from below for filling radius

§4. A mapping property of packing radius and differentiable sphere theorem

Chapter 2. Filling volume estimates from below

§1. Introduction

§2. A mapping property of filling volumes and its corollaries

§3. Stable 1-systole and filling volume

§4. Filling volume estimates by Besikovitch inequality

§5. A Besikovitch-type filling inequality in terms of simplexes

Chapter 3. Volume growth of some uniformly contractible Riemannian manifolds

§1. Introduction

§2. Preliminaries

§3. A proof of Theorem 1.8

§4. Volume growth of uniformly contractible Riemannian manifolds M with finite ALDist(M, BMn)

References