推广的LQ问题和Dubins问题——线性和非线性最优控制理论及其应用

摘要

本文分三部分对线性和非线性最优控制理论作了介绍，重点讨论了一种推广的LQ问题和Dubins问题的求解. 第一部分是对最优控制理论的简要回顾，给出了欧氏空间和一般流形上的最优控制问题的表述，然后讨论了最优控制的存在性及求解问题，把庞特里亚金最大值原理推广到流形上，最后介绍了动态规划的方法. 第二部分是关于线性最优控制理论的，首先列出了线性控制系统的一般理论，包括能控性、求解公式等；然后介绍了Hilbert空间的一些理论，作为后面讨论推广形式LQ问题的基础；最后总结了经典的LQ问题的求解方法，引出了一种推广形式的LQ问题并且作出了进一步的发展. 第三部分重点介绍了非线性最优控制理论，首先灵活应用庞特里亚金最大值原理解决了Dubins汽车问题；然后介绍了控制论中的Noether定理，基于自身的刚体对称性完全解决了3维情形的Dubins问题；最后给出了预辛约化的一般理论，利用它约化了3维情形的Dubins问题. 本文给出了现代微分几何观点下最优控制理论的叙述，介绍了几何控制论的一些重要结果和方法，并且应用它们介绍了推广的LQ问题和Dubins问题的求解，展示了几何控制论的特色和优越性.

目录

文摘

英文文摘

§1绪论

§1.1最优控制理论概况

§1.2 LQ问题和Dubins问题简介

§1.3最优控制理论中的几何方法

§1.4本文的主要工作

§1.5进一步的研究方向

§2最优控制理论回顾

§2.1欧氏空间和流形上的最优控制问题

§2.2最优控制的存在性：Filippov定理

§2.3欧氏空间和流形上的最大值原理

§2.4动态规划方法

§3线性最优控制理论和LQ问题

§3.1线性控制系统简介

§3.2 Hilbert空间理论

§3.3经典的LQ问题

§3.4推广的LQ问题

§3.5我的进一步发展

§4Dubins问题和Dubins汽车

§4.1 Dubins问题的表述及其解的存在性分析

§4.2 Dubins汽车的最优解的结构分析

§4.3我的推广及一个实例

§4.4 CSC假设不成立

§5Noether定理及3维情形的Dubins问题

§5.1控制论中的Noether定理

§5.2对称性分析

§5.3 3维情形Dubins问题的完全解决

§6预辛约化理论及其应用

§6.1预辛流形和预辛Hamilton系统

§6.2最优控制问题的预辛描述

§6.3约化3维情形Dubins问题

参考文献

附录一符号索引

附录二作者攻读硕士期间参加的科研项目

致谢