量子力学中的动力学对称性及非经典关联的若干问题研究

摘要

本文主要关注与两个方向,一是量子力学中的动力学对称性,二是量子力学系统中各子系统之间的非经典关联。在第一个方面,我们研究了在相对论量子力学中的若干具有动力学对称性的系统,其中涉及描述自旋1/2粒子的Dirac方程和描述标量粒子的Klein-Gordon方程,中心对称势和非中心对称势,平直空间和弯曲空间。另一方面,量子力学系统中各子系统中的非经典关联在量子信息理论中起着核心作用,本文从各个角度对这些非经典的关系进行了研究和讨论,如纠缠度与其他量子信息基本概念的关系、纠缠态的分解形式、多粒子系统中的关联度量、以及将纠缠态联合测量的几率展开为定域与非定域部分等等。另外,本文还涉及一些与上述两个方面相关的一些概念。例如,各向同性谐振子的动力学对称群生成元的构造与Schwinger表象紧密相关,本文将给出关于费米子Schwinger表象的一些结果。本文中有结论表明量子信息理论中的保真度与纠缠度有密切关系,所以本文也给出一些保真度有关的研究结果。主要研究内容包括：
　　 ⑴自旋是被自动蕴含在Dirac方程中的,这样原来在非相对论情况下氢原子和谐振子的动力学对称性会因为自旋角动量与轨道角动量的耦合而被破坏。这在氢原子系统中对应着氢原子光谱的精细结构。近年来,具有相等的矢量势和标量势的Dirac哈密顿量被证明具有一种自旋对称性。具体说就是其总角动量被分为守恒的轨道和自旋部分,这两部分在形式上是原来自旋和轨道角动量的变形。在2005年的文章[Ginocchio,Phys.Rev.Lett.95,252501(2005)]中,当这种形式的Dirac方程中的势能为各向同性谐振子势时,被证明具有SU(3)动力学对称性。而上述变形后的轨道角动量就是这个SU(3)群的八个生成元中的三个。本文中将势能为Coulomb形式时的此类系统称为具有自旋对称性的Dirac氢原子,该氢原子被证明具有SO(4)的动力学对称性。而变形的轨道角动量在这种氢原子中也是对称群的三个生成元,而另外三个对应非相对论情况下Runge-Lenz矢量的生成元在本文中被构造出来。按照与非相对论氢原子完全相同的程序,可以利用这些生成元及其Casimir算符给出该系统的代数解法。本文还讨论了在Kustaanheimo-Stiefel变换下,具有自旋对称性的Dirac氢原子与一个四维Dirac系统的对应。该四维系统也是具有相等的矢量势与标量势,且势能形式为谐振子势。
　　 ⑵当两维的Dirac哈密顿量具有相等的矢量势与标量势时,本文仿照三维情况下的结果构造出了这样两维系统中守恒的轨道角动量。当势能为Coulomb形式时,该系统被证明具有SO(3)群的动力学对称性,而势能为谐振子势时为SU(2)群的动力学对称性。该证明是通过构造两个系统中的守恒量,并给出其对易关系得到的。两个系统中的生成元即守恒量和对称群的Casimir算子一起可以给出能谱的代数解法,这与非相对论情况一致。这些守恒量的非相对论极限很好地回到大家熟知的非相对论氢原子与谐振子的结果。
　　 ⑶以上所讨论的Dirac系统在最近的文献中被证明等价于相同势能下的标量粒子,于是本文对具有相同矢量势和标量势的Klein-Gordon方程进行了研究,并考虑了坐标空间平直和弯曲时两种情况。在平直空间中,当该Klein-Gordon方程具有Coulomb势时,其对称性由SO(3)群描述；当势能为各向同性谐振子形式时,其对称群为SU(2)。同样在曲率为常数的弯曲空间中,即两维的球面空间,势能为Coulomb势和谐振子势时,其守恒量的对易关系为SO(3)或SU(2)的一种多项式推广即所谓的Higgs代数。这些系统中的守恒量和其对称群或代数的表示可以用于导出系统的能级。
　　 ⑷从两维各向同性谐振子出发,本文引出了具有Higgs代数对称性的量子力学系统的代数解法,并将其用于两维Smorodinsky-Winternitz系统。更进一步的,本文发展了前面所述构造各向同性Dirac系统守恒量的方法,找到了矢量势和标量势为相同的Smorodinsky-Winternitz势的两维Dirac方程的守恒量。这些守恒量满足Higgs代数关系。按照与非相对论Smorodinsky-Winternitz系统的代数解法完全相同的程序,可以求得该相对论系统的能量本征值。这是首例Dirac量子力学系统被证明具有Higgs代数所描述的动力学对称性。
　　 ⑸各向同性谐振子中动力学对称群生成元的构造与玻色子的Schwinger表象紧密相关。本文尝试讨论了n组费米子算符的Schwinger表象问题,并给出了非标准的费米子Schwinger表象。具体地,当幺正群的维数n≥3,U(n)的费米子表示并不唯一。本文给出了基于n组费米子算符,U(n)群表示的普遍结论。并且进一步讨论了U(Cmn)群的费米子表示。
　　 ⑹在与量子信息基本概念有关的工作中,本文首先关注被本文称为A-保真度的一种保真度定义,其也是两纯态内积往混态的一种推广。从qubit的Bloch球的表示出发,本文给出了该保真度在qubit情况下的几何图像。并且从中到处传统的Bures保真度的一个上界。本文用数值的方法研究了基于A-保真度定义的量子态的度规。在保持qubit情况下几何图像的前提下,将A-保真度推广到N维的保真度定义也被进一步讨论。
　　 ⑺在最近被报道的研究[Mintert and Buchleitner,Phys.Rev.Lett.98(2007)1405051和[Zhang et.al.,Phys.Rev.A78(2008)042308]中提出的测量纠缠度的方案中,被测量的不是纠缠度本身,而代之以纠缠度concurrence的上下界。本文的研究发现,这两个界可以很直接地利用Bures的性质给出证明。在上述实验方案中,被测量的纠缠态被限制为准纯态,即混乱度很低接近纯态的量子态。为了讨论该实验方案所能带来的最大误差,本文利用数值的方法随机生成两qubit系统的密度矩阵,并计算其在concurrence及其上界张成的两维坐标系内,而后逐步猜测并得到给定concurrence时上界最大的态。按照同样的方法,得到了给定concurrence时,下界最小的态和上下界差值最大的态。这类态被本文称作边缘态。
　　 ⑻作为理解高维系统纠缠的一种尝试,本文提出一种两qutrit纯态的分解。其形式基于全空间和子空间里的最大纠缠态,具体表示为|ψ>=P1、√3(|00>+|11>+|22>)+P2/√2(|01>+|12>)+p3eiθ|02>。与Schmidt分解类似,任意两qutrit纯态可以在局域的幺正操作下变换为该形式,其中系数p1是一个纠缠不变量。为证明该分解的成立,本文证明该形式态的纠缠不变量能够遍历Schmidt形式态的纠缠不变量。
　　 ⑼多体系统有着比两体系统更丰富和复杂的内容,Zhou在其最近发表的[Zhou,Phys.Rev.Lett.101,180505(2008)]一文中给出了不可约多提关联的定义。该定义基于最大熵原理,导致这种关联度量没有一个可以直接计算的定义式。在上述文献中,Zhou提出了一个连续性方案,可以用于求得n-qubit系统中稳定子态的不可约多体关联。由于注意到,该连续性方案本质是求一个厄米算符对应最大本征值的本征态的问题,本文发展了这个连续性方案,从而得到了两族Greenberger-Horne-Zeilinger型n-qutrit量子态中的不可约多体关联。其中一族中的纯态可以在2体和n体关联之外具有m(2　　 ⑽对一个两qubit量子态进行联合测量的输出结果的几率分布,可以按照早年原始文献[Elitzur,Popescu,and Rohrlich,Phys.Lett.A162,25(1992)]中提出的方案分解为定域和非定域两部分。其中定域部分即可以被描述为定域隐变量模型几率分布。本文证明了该分解下定域部分权重的下界可以用其纠缠度concurrence表示为pmaxL=1-()(ρ)。特别地,本文给出两族典型混态的定域几率分布的构造,该构造与上述下界相符。