组合中的逆向超对数凹序列

摘要

这篇论文主要研究了一些组合多项式的对数凹性质和逆向超对数凹性质。包括错排多项式的对数凹性质的组合证明，波洛斯一莫尔多项式的逆向超对数凹性质，与波洛斯一莫尔多项式相关的一个多项式的逆向超对数凹性质和q-对数凸性质，欧拉差分表的2-对数凹性质和它的2一进数赋值问题。在第一章中，我们介绍了单峰序列、对数凹序列、实根序列、超对数凹序列以及q-对数凸序列的定义、研究背景和历史，并且介绍了关于这些组合性质的几个重要定理。同时我们定义了逆向超对数凹序列。在第二章中，我们给出了关于错排多项式的对数凹性质的一个组合证明。证明的主要思想借鉴了伽西欧和博纳用组合的方法证明欧拉多项式的对数凹性质的思路。我们先构造了一个双射，将错排序列与满足一定限制条件的带标号的格路一一对应起来，然后利用格路的几何性质，构造了一个合适的单射。利用同样的方法，我们还得到了错排多项式的交错对数凹性质。在第三章中，我们得到了关于波洛斯一莫尔序列{d(m))o≤i0。为了证明这个不等式，我们先给出了f的定义域；通过分析f的导数，我们证明了f在定义域上严格单调递减；然后我们证明，在定义域的右端点上严格大于0，因此证明了f在其定义域上大于0，这就证明了欧拉差分表是2-对数凹序列。此外，我们证明了欧拉差分表是逆向超对数凹序列。最后，我们利用欧拉差分表的递推关系式，研究了它的2．进数赋值问题。