基于范畴的非良基理论及其应用研究

摘要

非良基集合论是在标准集合论ZFC中用非良基公理替换良基公理FA得到的公理化集合论系统。由于非良基公理具有扩大集论全域的作用，非良基集合论突破了FA将集合论域限制到良基集合的局限，具有更丰富的全域，它既包含良基集合，又包含具有无穷∈降链性质或循环性质的非良基集合。因此，借助于非良基集合，非良基集合论揭示了现代科学中的众多循环现象，展示了广阔的应用前景。而且，非良基集合论给出了一套完备的工具能够为现实世界中各种各样的循环问题构建集合理论上的模型。
　　随着数学研究成果的日益丰富，现代逻辑向更加抽象化的方向发展成为必然。范畴论是结构和结构系统的一般数学理论，并且系统化和统一了许多的数学结构，在代数学、逻辑学、理论计算机科学等领域有着广泛的应用。在范畴论的意义下，借助于代数的和共代数的方法，良基公理FA和非良基公理AFA所刻画的集合全域中的对象具有某种“泛性质”，并且在结构上能够彼此互相关联。实际上，范畴论是作为数学基础的集合论的替代物。因此，对基于范畴的非良基理论的研究具有重要的理论意义和实践意义。
　　本文研究基于范畴的非良基理论及其应用，将非良基集合论和范畴论联系起来，探究非良基公理AFA和同一公理家族AFA～在范畴论意义下的特定性质，并且讨论了AFA的一些有趣的应用。
　　概括说来，本文的主要工作包括以下五个方面:
　　第一，从集合的精确图出发，介绍非良基集合上的外延性，描述同一公理家族AFA、SAFA、FAFA确定的非良基集合全域。并且梳理非良基理论应用于计算机科学领域的研究成果。
　　第二，以理论计算机科学中典型的循环现象，诸如，流、无穷树、标号转换系统为例，阐明为什么要在ZFC中用非良基公理替换良基公理，以及使用非良基公理可以解决什么样的问题。
　　第三，借助于共代数方法，研究范畴论意义下的非良基公理。探讨在一适当的范畴下，集合、图和共代数之间的对应关系，也就是，根据集合的图，能够定义一个非良基集合和一个共代数的一一对应。继而根据共代数的终结性，给出同一公理家族AFA～的范畴论意义下的描述，即AFA～具有终结性。
　　第四，研究非良基公理的应用，讨论在适当的范畴下的定点理论。基于奥采尔(Peter Aczel)的工作，引入类范畴上的集连续算子，进而推广至标准函子，描述标准函子的最小定点(初始代数)和最大定点(终结共代数)，最后详细论证符合一定条件的函子的终结共代数存在的终结共代数定理。
　　第五，以AFA的应用为理论基础，探讨程序语言语义的一种数学方法，即计算程序进程的终结共代数语义。引入米勒(Robin Milner)构造的通信系统CCS和SCCS的语法和语义，通过使用终结共代数定理给出SCCS进程代数的终结语义。而且详细阐述了CCS进程的语义的终结域方法。
　　国外对非良基集合及其理论的研究起步较早，涉及领域广泛，已经取得了较为丰富的成果。目前，我国对非良基集合论及其应用的研究尚处于初步阶段。本文将国外关于非良基集合论研究所取得的最新成果梳理并介绍到国内，并且利用范畴论的原理和技术手段重新研究了非良基公理，探讨了非良基理论在进程代数语义方面的应用问题，这对于我国逻辑学界了解学术前沿理论、汲取新的研究方法和思想，从而进一步开展该领域新的研究课题具有十分重要的意义。

目录

声明

摘要

引言

第一章 非良基集合论基础理论

第一节 概述

1．1．1 集合论的背景

1．1．2 ZFC公理系统

1．1．3 非良基集合

第二节 非良基集合上的外延性

1．2．1 用图来刻画集合

1．2．2 非良基集合全域

1．2．3 非良基公理模式

1．2．4 同一公理家族AFA~

第三节 非良基公理的使用

1．3．1 循环现象和非良基集合

1．3．2 互模拟

1．3．3 扩展图

1．3．4 ZFA中的循环集族

第四节 非良基集合论在理论计算机科学中的研究状况

第二章 范畴论的一般理论

第一节 范畴的一般定义和实例

2．1．1 范畴的定义

2．1．2 范畴的实例

第二节 范畴论的基本概念

2．2．1 函子

2．2．2 自然变换

2．2．3 拉回

2．2．4 初始对象和终结对象

2．2．5 对偶性

第三节 共代数

2．3．1 代数与初始代数

2．3．2 共代数与终结共代数

2．3．3 共代数上的基本构造

第四节 范畴论的哲学意义

第三章 基于范畴的非良基公理

第一节 集合和类的界定

第二节 良基公理的初始性

3．2．1 良基集合和良基公理

3．2．2 良基集合全域初始性的结论

第三节 非良基公理AFA的终结性

第四节 良基公理和非良基公理的比较

第五节 同一公理家族AFA~的终结性

3．5．1 集合、图和共代数

3．5．2 AFA~的终结性

第四章 非良基公理的应用

第一节 集连续算子的定点

4．1．1 集连续算子

4．1．2 定点

第二节 特殊终结共代数定理

4．2．1 关于初始代数和终结共代数的命题

4．2．2 标准函子

4．2．3 终结共代数定理

第三节 一般终结共代数定理

4．3．1 定理

4．3．2 小子共代数引理的证明

4．3．3 共代数上的极大同余

4．3．4 主引理的证明

4．3．5 互模拟

4．3．6 一般终结共代数定理

第五章 通信系统的应用

第一节 程序语言的语义

5．1．1 操作语义

5．1．2 共代数语义

第二节 通信系统的一个应用

5．2．1 转换系统

5．2．2 完全转换系统

5．2．3 CCS和SCCS

5．2．4 完全转换系统上的运算

第三节 CCS进程的终结域

5．3．1 语义的终结域方法

5．3．2 类上的共代数和标号转换系统

5．3．3 CCS进程

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果