组合学中的一些正性问题

摘要

本论文的工作围绕组合数学中的正性问题展开。正性问题主要是证明某些实数非负，组合数学中的很多重要问题都可表述为正性问题。因为正性对于组合数学的意义在于一个非负实数既有组合解释，又有代数解释。同时，致力于发表某个特别专题相关文章的《数学进展》系列也将“Notions of Positivity andthe Geometry of Polynomials”作为一个专题。我们重点研究了与对称函数理论和单峰型理论相关的几个正性问题。
　　论文的第一部分证明了与Schur函数有关的一个正性问题。Schur函数是对称函数的一组非常重要的基。在研究与Catalan序列有关的两个整数序列时，Lassalle引入了对称函数的一个特殊化，并猜想在这个特殊化下任意Schur函数的值都是正的。利用对称函数与全正序列之间的关系，我们将Lassalle猜想转化成了某个序列的全正性判定问题。再利用全正序列与乘子序列之间的关系，我们发现这个序列的全正性可从Laguerre的一个经典定理得出，从而证明了Lassalle猜想。
　　论文的第二部分给出了自反多项式的q-对数凸性的一个判据。我们的出发点是证明一类多项式的q-对数凸性猜想，该猜想是由孙智伟在研究π的幂次的级数展开时提出的。我们给出的q-对数凸性判据，借鉴了刘丽和王毅给出的关于多项式q-对数凸性的一个判定条件，同时考虑了自反多项式系数的对称性。利用这个判据，我们发现孙智伟提出的q-对数凸性猜想转化为确定某个6次实系数多项式在某段区间内的值的符号变化的问题。通过仔细分析这个高次多项式各阶导数的性质，我们给出了它随自变量变化时函数值的符号变化的规律，从而证明了孙智伟猜想。
　　论文的第三部分是第二部分的继续，证明了Domb多项式的q-对数凸性和Domb序列的对数凸性。Domb多项式的q-对数凸性也是由孙智伟在研究π的幂次的级数展开时作为猜想提出的，它蕴含着Domb序列的对数凸性。利用第二部分中给出的判据，我们发现Domb多项式的q-对数凸性猜想转化为确定某个8次实系数多项式的函数值的符号变化的问题。我们采用类似的方法确定了这个多项式随自变量变化时函数值的符号变化的规律，再结合B型Narayana多项式的q-对数凸性，从而得到了Domb多项式的q-对数凸性。