Yang-Baxter方程，量子纠缠及Majorana费米子

摘要

量子纠缠在量子信息领域扮演着重要的角色，而对量子纠缠的描述也是多种多样。2004年，Kauffman与Lomonaco提出了辫子算子可作为量子计算中的通用量子门，而辫子算子的一种表示与2-qubit Bell基之间有直接的联系，并给出了拓扑纠缠与量子纠缠之间的关系，从辫子算子的角度给出了对最大纠缠的描述。而辫子关系的推广形式——Yang-Baxter方程(YBE)和量子纠缠之间的关系，也在受到越来越多的关注。基于YBE的一个解(R)12（θ，ψ)，亦即二体散射矩阵，先后有文章探讨了其在制备2-qubit纯态纠缠，导出Hamilton量及其相应的Berry相因子与纠缠度之间的关系，与YBE的解相应的Temperley-Lieb代数在构造2-qubit及N-qubit纠缠态的应用，以及l1-Norm极值条件在量子信息中的应用等等。
　　在本文中，围绕由YBE限制的三体散射矩阵，我们主要研究了两部分内容。第一部分是三体散射矩阵与量子纠缠之间的关系，第二部分是对三体散射矩阵所构造出的Hamiltonian的研究。首先，我们简要回顾辫子算子与2-qubit纠缠之间的联系。在第二章，我们给出由两体散射矩阵组合而成的三体散射矩阵(R)123（η，β，ψ），并讨论其与3-qubit纠缠态之间的关系。在第三章，在利用自旋1/2的格点表示二体散射矩阵的基础之上，我们讨论了由三体散射矩阵导出的自旋1/2 Hamilton量及其相应的Berry相因子。在第四章，我们构造出基于上述Hamiltonian量的一维自旋1/2链模型并将其与1D Kitaev模型进行比较。在第五章，通过简单的例子，我们探讨了三体散射矩阵中的参数β在纠缠传输中的作用。在第六章，基于Majorana费米子所满足的Clifford代数，利用Majorana费米子算符可以得到一个Yang-Baxter方程的解，我们导出了相应的Hamilton量，发现其存在拓扑相，这恰恰是1D Kitaev模型;从Clifford代数的角度出发，我们构造出Yang-Baxter方程解的4n维矩阵表示(R)ni（θ），其中n为奇数，将此矩阵表示(R)ni（θ=π/4）作用在2n-qubit自然基上，我们可以得到2n-qubit GHZ态，与Kauffman文中的Bell基相比，这正是此项工作的直接推广。最后一章对全文做了总结。

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摘要

Abstract

Contents

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 3 body S-matrix and quantum entanglement

2．1 The explicit form of 3 body S-matrix

2．2 3-body S-matrix transformation and entangled degree

2．3 The condition of YBE in 3-qubit entangled polytope

Chapter 3 Hamiltonian for 3-body S-matrix and Berry phase in entanglement space

3．1 The Hamiltonian for 3-body S-matrix and its eigenstates

3．2 The Berry phases of the Hamiltonian’s eigenstates

Chapter 4 Next neighbour spin-1／2 chain for 3-body S-matrix and 1D Kitaev toy model

4．1 1D Kitaev toy model and the Majorana fermions

4．2 The non-existence of Majorana fermions in spin-1／2 Yang-Baxter chain

Chapter 5 Entangling dependence on parameter in special chain model

Chapter 6 Clifford algebra in YBE and its application in generating N-qubit GHZ state

6．1 Representation of YBE solution in Majorana form and 1D Kitaev model

6．2 Emergent Majorana mode for YBE and the generation of GHZ state

Chapter 7 conclusion and discussion

Appendix

References

致谢

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