Ornstein-Uhlenbeck过程关系曲线边界的首达时密度

摘要

扩散过程及其首达时在金融等领域有着广泛而重要的应用。Ornstein-Uhlenbeck过程（OU过程）作为一种特殊的扩散过程，随着时间的增长，它的轨迹趋向于均值，这种性质称为均值回复性。根据金融学中的均值回归理论股票价格不可能持续上涨或下跌，因此OU过程常被用来刻画股票等标的资产的变动，而其首达时密度的一个直接应用即是路径依赖的期权定价问题。首达时密度的计算是一个非常重要且有难度的问题。目前对OU过程首达时密度的大量研究都是针对边界为常数的情况所进行的，如Alili等人所总结，即使对OU过程关于常数边界的首达时密度，也只能通过数值方法求出它的近似值;对OU过程关于可变边界的首达时密度则鲜少有文章进行讨论，至今还没有给出很好的计算方法。本文探讨了边界为连续函数时的OU过程的首达时密度及其数值算法。
　　本文首先证明OU过程关于曲线边界的首达时密度可以表示成级数形式。据此结论，我们将级数表达式的连续部分和作为首达时密度的近似，加和项数越多，近似阶数越高。通过定义一个积分算子并证明在一定条件下这个算子是压缩的，我们可知近似序列是一致收敛到首达时密度本身的，且在一定条件下，四阶以内近似的精确度即可满足需要。然后我们对比了本文的级数法与常数边界下求解OU过程首达时密度的已有方法，发现级数法的精确度高于或至少等于其他几种方法的精确度。最后我们取不同形式的边界函数分别对其首达时密度进行数值运算，求出它的前四阶近似。通过比较，我们发现三阶四阶近似在八位精度内所得值相同，二阶近似值则与三阶四阶近似值非常接近，但是四阶近似的数值运算与二阶三阶近似运算相比，运算复杂度增高的同时精度提高并不明显。因此一般情况下，我们可用四阶以内近似来求解首达时密度。

目录

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摘要

第一章 引言

第二章 OU过程关于曲线边界的首达时密度

第一节 OU过程及首达时

第二节 OU过程的曲线边界首达时密度

第三节 应用

第三章 数值算法及收敛性

第一节 首达时密度的数值算法

第二节 收敛性

第三节 实例

第四章 结论

参考文献

致谢

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