非局部椭圆方程中的变分问题

摘要

本学位论文主要研宄非局部椭圆方程中的两个变分问题.
　　首先考虑分数阶Nirenberg问题.此问题等价于球面Sn上非线性方程Pγu= Kun+2r/n-2γ的可解性.这里Pγ是Sn上标准度量g0的2γ(γ∈(0,1))阶共形协变拟微分算子，且K是正的C3函数.此方程具有变分结构,但是由于右端临界指数的出现,Sobolev嵌入没有紧性,这是我们在寻找临界点时遇到的主要障碍.为了克服这个困难,我们将采用两种方法：(1)运用无穷远处临界点理论.为此,我们构造能量泛函的一个拟梯度向量场使得，当其流线没有进入函数K的有限个临界点的邻域内时,沿着下降流线方向Palais-Smale条件成立,这样就得到一个Euler-Hopf型方程,再通过拓扑假设得到具有有限Morse指标的正解的存在性.（2)利用Lyapunov-Schmidt约化方法和有限维度理论,在假设K(x)具有两个以上临界点和其它局部条件时,得到刺状解的存在性和多重性.
　　然后,我们考虑分数阶Choquard方程,这个方程有很深刻的物理背景并且当前有很多作者研宄.利用集中紧性原理,我们得到非自治情形下正极小能量解的存在性,从而在一定程度上推广了 P.L.Lions的一个经典结果.

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前言

0 .1 研究背景

0 .2 本文主要结论

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Chapter 1 Existence results for the fractional Nirenberg problem

1.1 Introduction

1.2 Variational structure

1.3 Expansion of the functional and its gradient

1.4 Morse lemma at infinity

1.5 Proof of Theorem 1.1.2.

1.6 Proof of Theorem 1.1.5 and Theorem 1.1.4

1.7 Proof of Lemma 1.3.1.

1.8 Proof of Lemma 1.3.2.

1.9 Proof of Lemma 1.3.3.

Chapter 2 Peak Solutions for the fractional Nirenberg problem

2.1 Introduction

2.2 Preliminaries and variational structure

2.3 Expansions of J￡and its gradient

2.4 Proof of the main result.

2.5 Appendix A

2.6 Appendix B

2.7 Appendix C

2.8 Appendix D

Chapter 3 Ground state solutions for non-autonomous fractional Choquard equations

3.1 Introduction

3.2 Preliminaries and Variational setting

3.3 A compactness lemma

3.4 Proof of Theorem 3.1.1

参考文献

致谢

个人简历和已完成的论文