复杂网络博弈及度分布研究

摘要

复杂网络是研究复杂系统的一门新的学科，这门学科融合了数学、统计物理、非线性动力学以及社会学生物学等学科。人类周围的许多系统都可以看做网络，比如交通网、电力网、人际关系网等，因此研究这些网络的演化特性、拓扑结构以及以其为基础的动力学等具有重要意义。
　　 幂律分布是自然界中的一种常见分布，而许多真实网络的度分布也遵从幂律分布，比如无标度网络。针对网络中节点度分布中常出现漂移幂律分布即Mandelbrot幂律问题，利用最大似然法给出了Mandelbrot幂律分布似然函数的代数方程，并利用模拟退火法得到了方程的最优解，即Mandelbrot幂律分布的幂律指数和漂移量。此方法得到的无标度网络和派系网络的幂律指数和漂移量的数值模拟结果与理论值符合较好，因此建议在度分布拟合中应考虑漂移量的影响。
　　 对派系网络(合作人数固定的合作网络)的度分布以及累积度分布进行了研究，得到了m-派系网络幂律指数和漂移量的函数表达式。发现最小度的概率总为二分之一，在节点度较大时，度分布的近似解析服从Mandelbrot幂律分布。通过数值模拟，发现所得Mandelbrot系数和幂律指数与理论值符合很好，得到的度分布数值解相对于平均场结果更加符合精确解。
　　 演化博弈提供了一种描述个体之间交互作用的通用数学框架。复杂网络上博弈即把个体看做网络上的节点，个体之间的关系通过邻接矩阵来表征，博弈则在个体与邻居间通过博弈规则进行。本文提出了基于真实系统的从众策略和对连续合作者的奖励机制下的囚徒困境博弈。从众策略即个体在选择合作或者背叛策略是不仅依赖于本身和所选邻居的收益差，在某种程度上也取决于邻居中绝大多数个体采取的策略，这也符合现实中真实个体的行为。研究发现正格子网络、及小世界网络和无标度网络上的从众策略有利于个体合作行为的涌现，个体从众策略几率越大，正格子网络和小世界网络中合作者比率也愈高；无标度网络则不同，较大的从众几率会使合作比率下降，主要是由于无标度网络中存在Hub节点。对正格子网络上Von Neumann邻居关系和Moore邻居关系下连续合作奖励机制的囚徒困境进行了研究，数值模拟表明此策略能有效提高合作者比例和延缓背叛者在网络中的蔓延，且在Von Neumann邻居关系中存在奖励收益的最佳值。