变截面梁振动特性快速算法及其应用

摘要

梁作为工程结构基本构件，被广泛应用在各类结构中。变截面梁由于具有等强度、质量分布优化等优异的力学性能，在航空、机械、建筑等领域得到广泛的应用。然而计算变截面梁的振动特性除有限元方法外，还没有一种统一快速的方法。
　　本文从如下几方面探讨变截面梁振动特性的快速算法：
　　1)基于欧拉梁理论给出弯曲刚度、质量分布沿梁轴线连续或非连续变化的变截面梁横向振动方程；将该变截面梁等效为多段均匀梁，并基于相邻两段连接处的位移(位移、转角)和力(弯矩、剪力)的连续条件，建立了两相邻均匀段之间模态函数的关系；给出了六种常见的边界条件下计算变截面梁横向振动固有频率的特征方程和振型函数，并用Newton-Raphson方法计算其固有频率，将结果代入振型函数得到相应频率下的模态。通过与有限元法的数值结果比较，验证本文方法的高精度和有效性。
　　2)使用铁木辛柯梁模型替代欧拉梁模型，建立此模型下的变截面梁振动特性计算方法。通过与有限元法的数值结果比较，验证此方法的高精度和有效性。
　　3)分别基于欧拉梁和铁木辛柯梁模型，给出了轴力沿轴向变化的两类变截面梁的固有频率和模态函数的求解方法。
　　4)针对梁在振动时的多种边界条件(简支、固支、滑动支撑、自由端附加质量和弹性支撑)，提出统一边界条件下的特征方程。
　　5)以风力机塔架为例，提出了风力机塔架动力特性计算的新方法。建立风力机塔架的数学模型并计算其固有频率和模态。
　　6)以一个单边开口裂纹的变截面梁为算例，使用Ostachowitz和Krawczuk的关系式建立裂纹处分段时的左右两端的转角关系。最后得到含裂纹的变截面梁固有频率和模态的计算方法。