基于小波基Lévy密度的非参数估计

摘要

Lévy过程是随机过程理论研究的重心。近20年来，在经典的B-S期权定价模型中，对于股票价格的连续变化服从几何布朗运动的假设，已经被实证研究证明与实际数据有显著的不一致，如尖峰厚尾现象。为了更好的展现数据特性，揭示价格变化的实质，在数理金融领域中，抛弃几何布朗运动假设的Lévy过程模型日益受到重视。在连续时间过程的金融建模中，相比于传统的连续轨道的布朗运动模型，带跳跃的Lévy过程模型能更好地刻画市场价格的跳跃，更好的解释尖峰厚尾现象，更好地拟合金融数据的统计特征，更准确地对衍生品进行定价。然而，过高的计算强度、Poisson随机积分的计算难度等问题，严重地影响了Lévy过程模型在实践中的应用，尤其在现今的高频数据场合下。
　　本文介绍了基于Haar小波基的Lévy过程密度的非参数估计方法，构造了Lévy过程中纯跳过程的测度的估计量，同时结合基于离散数据的Poisson积分的逼近方法，给出了小波基下的带惩罚投影估计量的离散逼近形式。
　　模型选择方面，从均方误差的角度出发，采用对照函数和罚函数的思想，构造了以Poisson随机积分定义的由两部分构成的目标函数:损失函数和控制复杂度的惩罚函数。
　　在模拟验证中，对两种在数理金融领域具有重要意义的Lévy过程:Gamma Lévy过程和Variance Gamma Lévy过程进行了仿真模拟，采用Haar小波基构造了带惩罚的投影估计量，并讨论了在不同情形下带惩罚的投影估计量的表现。
　　最后，对在风险资产定价模型中具有重要意义的Variance Gamma模型进行了实证研究。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 Lévy过程在数理金融上的应用及其密度估计的研究背景

1．2 国内外研究现状

1．2．1 国外研究现状

1．2．2 国内研究现状

1．3 本文的研究内容及组织结构

1．4 本文研究的切入点与思路以及研究的创新与不足

第2章 不依赖于模型的估计方法

2．1 Lévy密度的正则化测度

2．2 标准正交基下的投影估计量

2．3 模型选择与罚函数

第3章 Poisson过程的离散逼近

第4章 估计方法

第5章 小波基和小波变换

5．1 五种常用小波基

5．1．1 Haar小波基

5．1．2 Morlet小波基

5．1．3 Mexican Hat(mexh)小波基

5．1．4 Daubechies(dbN)小波基

5．1．5 Meyer小波基

5．2 常用小波函数特征

第6章 模拟

6．1 统计方法的细节

6．2 Gamma Lévy密度

6．2．1 模拟

6．2．2 结果

6．3 Variance Gamma Lévy密度

6．3．1 模拟

6．3．2 结果

第7章 实证研究

结论与展望

致谢

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及科研成果

攻读硕士学位期间参加的会议项目