三维轴对称问题的超收敛算法与分裂外推

摘要

众多的科学与工程问题归结于计算三维轴对称边值问题。本文旨在研究机械求积法和外推技术在轴对称边界元法中的应用，首次从理论和方法上阐述了机械求积法和外推技术在轴对称Laplace问题、轴对称自由边界问题和轴对称Stokes绕流问题中的可行性。 借助边界元方法，轴对称三维问题可以转化为一维边界积分方程，故该方法颇受工程界关注，是当今边界元研究热点。但是由于轴对称边界积分方程理论上尚处于研究阶段，数值计算主要依赖于迦辽金法和配置法，离散矩阵生成需要做一重或二重奇异积分计算，其计算复杂度甚高，精度也低，从而制约了该方法的广泛应用。本文借助Sidi和Lyness的弱奇异和奇异求积公式首次把机械求积法应用到轴对称问题，从而节省大量计算，降低了计算的复杂度，得到较高精度的数值解，并从理论上证明了机械求积法在轴对称问题上的可行性。 另外，轴对称问题的基本解的奇性不同于二维问题的基本解，特别是在对称轴上，基本解具有柯西奇性，因而在迦辽金法和配置法中大都需要为对称轴做特殊处理。其次，由于旋转平面的边界大多是不光滑的，因而积分方程的解及其法向导数在边界上的角点也是非光滑的，甚至是奇性的，理论分析具有相当的难度。本文使用周期变换消除了解在角点处的奇性，进一步提高了机械求积法的精度。与此同时，由于边界各段上的网参数彼此独立，我们导出了误差拥有三次幂的多参数渐进展开，通过并行地解出粗网格上的离散方程，使用外推和分裂外推技术加速收敛，可以得到精度更高的数值解。同时一个后验估计被得到，故借助本文方法可建立计算可靠的自适应并行算法。这项工作在以往的轴对称问题的处理中是鲜有发现的。 这篇论文被分成了三个部分。 第一部分是三维轴对称Laplace问题边界积分方程的机械求积法和分裂外推。我们使用直接边界元法和间接边界元得到了第一类和第二类的边界积分方程。从理论上证明了在周期变换下误差有三次幂的渐近展开。实际计算表明没有周期变换的数值精度低于O(h<'3>)。最后，数值算例验证了我们的理论分析。 第二部分把轴对称边界元法应用到具体工程问题中，首次利用机械求积法和样条插值解决了天然气工程中的水锥问题。给出了在不同生产压力下，底水水锥锥顶的位置，为实际生产提供理论指导。 第三部分讨论了Stokes问题。我们使用间接边界元法得到了边界积分方程，从理论上证明了在周期变换下机械求积法拥有三次幂的渐近展开，使用外推和分裂外推可以进一步提高数值精度。实际计算表明我们的方法优于Galerkin方法和配置法。

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论文说明：图表目录

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第一章导论

1.1三维轴对称问题的边界元法

1.2三维轴对称问题的边界积分方程

1.2.1间接边界积分法

1.2.2直接边界积分法

1.3轴对称边界积分方程的数值解法

1.4外推与分裂外推

1.5本文要点

第二章三维轴对称Laplace方程的边界元法

2.1引言

2.2三维轴对称Laplace问题的基本解

2.3 Dirichlet问题的间接边界元方法

2.4机械求积法

2.5收敛性证明

2.6误差的多参数渐进展开与分裂外推

2.7数值算例

2.8混合边值问题的直接边界元法

2.9机械求积法

2.10数值算例

第三章气井稳态水锥的自由边界问题

3.1引言

3.2气井稳态水锥自由边界问题的模型

3.3气井稳态水锥自由边界问题的基本解

3.4机械求积法

3.5迭代算法

3.6数值结果

3.7符号说明

第四章三维轴对称Stokes问题的边界元方法

4.1引言

4.2三维轴对称Stokes问题的基本解

4.3机械求积法

4.4收敛性证明

4.5误差的多参数渐进展开与分裂外推

4.6数值算例

附录A 完备椭圆积份

参考文献

作者在读期间科研成果简介

创新点

致谢