一些矩阵计算问题及其在图像识别中的应用研究

摘要

本文分为两个部分，第一部分主要研究了一类稀疏矩阵—三对角、块三对角和带状矩阵的求逆问题，给出了一些简单实用算法；第二部分基于矩阵计算的理论和方法，研究了图像识别问题。 三对角及带状矩阵是一类重要的稀疏矩阵，在数值分析、图像处理和信号处理等学科领域及工程技术上都有重要的应用。该类矩阵的求逆是研究者们关注的热点问题。三对角矩阵的条件数计算，“部分逆元素”的计算及线性方程组求解等问题都涉及到该类矩阵的逆。 图像处理和识别是一个重要的应用学科方向，涉及很多基础知识。矩阵计算的理论和方法在图像处理和识别中有重要的应用，是一种重要的研究工具。 本论文基于上述两个部分而展开，主要内容为： 1.研究了三对角矩阵的求逆。分别基于三对角矩阵的LU分解和基于用四个列向量表示逆矩阵的两种方法进行了研究，得到两个简单的求逆算法。前者适用于不需任何附加条件的一般三对角矩阵。理论分析表明，在计算复杂度上，提出的算法明显低于经典的求逆算法，也低于最新的一些研究成果；实验表明，在计算时间上，提出的算法约占Nabben最近提出方法的75％～85％左右，约占追赶法的40％～60％左右。 2.研究了块三对角矩阵的求逆。分别基于块三对角矩阵的绞形分解、块LU分解和基于用四个分块的列向量表示块逆矩阵三种方法进行了研究，得到三个简单算法。理论分析，在计算复杂度上，提出的算法的明显低于经典的求逆算法，也低于最新的研究成果；实验表明，在计算时间上，提出的算法约占Meurant最近提出的算法的60％～80％左右，占块矩阵追赶法的30％～50％左右。 3.研究了带状矩阵求逆。在Meurant提出的三对角矩阵的绞形分解基础上，给出了带状矩阵的n个绞形分解，从而给出了一个按列逐次求逆的算法。该算法比经典的LU算法约快两倍。 研究了非奇H(块)矩阵的谱半径，得到一个非奇H(块)矩阵谱半径的上界估计式。其结果简单实用，而且在一定程度上优于Frobenius不等式所给出的谱半径估计式及分块矩阵谱半径估计式的最新结果。 4.研究了基于二阶二维主分量分析(二阶2DPCA)的人脸识别问题。二阶2DPCA的提出主要基于二阶特征脸和一阶2DPCA方法。对于光照变化条件下的人脸识别问题，与一阶特征脸、二阶特征脸以及一阶2DPCA相比，二阶2DPCA方法获得的识别率有显著提高；另外，相对于一阶特征脸和二阶特征脸方法，二阶2DPCA需要的运行时间明显降低。 5.在彩色图像的四元数模型基础上，研究了基于四元数矩阵的彩色图像识别问题。首先研究了彩色图像的奇异值特征向量，证明了它的一些代数和几何不变性，并将其用于彩色图像识别中。在较小的训练样本库上的实验表明识别率可达90％左右。进一步的研究发现奇异值特征向量仅含有图像的少量信息，图像的大量信息体现在奇异值分解的两个四元数酉矩阵中。从而建立了基于投影特征向量的识别算法，在较大的训练样本库上的实验表明其识别率可达85％左右。而基于奇异值特征向量的识别方法的识别率此时仅能达到10％左右。

目录

文摘

英文文摘

独创性声明及关于论文使用授权的说明

第一章绪论

第二章三对角矩阵求逆的算法

第三章块三对角矩阵求逆的算法

第四章带状矩阵计算及H矩阵的谱半径估计

第五章基于二阶2DPCA的人脸识别研究

第六章基于四元数矩阵的彩色图像识别

第七章结论

致谢

参考文献

攻博期间取得的研究成果