线性方程组和鞍点问题的松驰型迭代算法与预条件技术

摘要

线性代数方程组的求解是科学与工程计算领域中最常见的一个问题，因而线性代数方程组求解方法的研究是大规模科学与工程计算的核心，具有非常重要的理论价值和应用价值.本文深入地研究了求解线性代数方程组的迭代解法，特别地，系统分析了基于矩阵分裂迭代法的收敛性和比较理论，并且讨论了求解鞍点问题的迭代方法.
　　 提出了一种迭代算法，用来搜寻使得矩阵AD为严格对角占优的正对角矩阵D.对于任意的不可约M-矩阵(或者H-矩阵)A，利用矩阵A的特殊性质和矩阵中元素之间的关系，改进了已有的算法，找到一个正对角矩阵D，使得矩阵AD是一个严格对角占优矩阵.进一步，通过获得的结果得到了对H-矩阵谱半径上界的估计.
　　 基于求解微分方程的波形松弛方法，结合两步迭代法和多分裂方法，研究了两步波形松弛方法的相关理论.首先，完善了定常的两步波形松弛方法的研究，分析了当系数矩阵是H-矩阵时迭代法的收敛理论，以及在Hermitian正定矩阵的情况下，给出关于比较理论的一种新的证明方法.其次，系统地分析了非定常的多分裂两步波形松弛方法.深入地研究了当系数矩阵是一些特殊矩阵时，迭代法的收敛理论和比较理论，数值实验显示了理论的有效性.这些成果为迭代法的选择提供了一定的理论依据.
　　 研究了鞍点系统的迭代解法.首先基于求解鞍点问题的SOR-like迭代法，建立一类修正的广义SSOR方法，研究分析了使得此方法收敛的松弛因子的取值区域.其次，通过构造不同的矩阵分裂，建立了两类新的广义SOR方法.给出了两种相对应的算法，并且讨论了两种算法收敛的参数的取值区域.同时通过对参数进行具体地选取，给出相对应的算法，并且在数值实验中得到了验证.
　　 研究了一类交替的修正预条件Gauss-Seidel迭代法，给出了收敛理论和比较理论，进而说明对于此类修正预条件子迭代法的收敛速度比经典的SOR算法的收敛速度要快.同时又分析了多分裂情况下修正的Gauss-Seidel迭代法的收敛性.其次，对于奇异线性系统，研究了当分裂矩阵也是奇异情况下的收敛性.

目录

文摘

英文文摘

论文说明：主要符号对照表

声明

第一章绪论

1.1研究背景和意义

1.2研究的现状

1.2.1线性方程组的迭代解法

1.2.2鞍点问题的求解技术

1.3本文主要研究内容、方法和创新点

1.4本文结构安排

第二章基于迭代法寻找对角占优的尺度矩阵

2.1引言

2.2定义和性质

2.3寻找尺度矩阵的迭代法

2.4本章小结和展望

第三章两步波形松弛迭代法

3.1引言

3.1.1两步迭代法

3.1.2波形松弛方法

3.1.3定义和性质

3.2定常的两步松弛迭代法

3.2.1收敛性分析和比较理论

3.2.2数值例子

3.3非定常的两步波形松弛迭代法

3.3.1收敛性分析

3.3.2比较理论

3.3.3数值例子

3.4本章小结和展望

第四章 鞍点问题的迭代求解

4.1修正的广义SSOR方法

4.1.1引言

4.1.2修正的广义SSOR方法的收敛性

4.1.3数值例子

4.2广义SOR迭代法的研究

4.2.1引言

4.2.2广义SOR方法的收敛性

4.2.3数值例子

4.3本章小结和展望

第五章预条件GS迭代法和奇异矩阵的迭代法研究

5.1交替的修正Gauss-Seidel迭代法

5.1.1引言

5.1.2收敛性分析

5.1.3数值例子

5.2奇异线性系统的迭代研究

5.2.1引言

5.2.2收敛性研究

5.3本章小结和展望

第六章结论

致谢

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果