线性方程组分裂迭代法与广义鞍点问题Uzawa算法研究

摘要

科学与工程的很多重要领域如计算电磁学，高阶微分方程求解，最优化问题，流体力学和油藏模拟等都离不开大型线性代数方程组的求解．大型稀疏线性方程组的求解方法研究已经成为大规模科学与工程计算的核心问题之一，具有重要的理论意义和实际应用价值．本文对求解大型稀疏线性代数方程组的一些迭代解法进行了深入的研究，特别系统研究了非Hermitian线性系统的收敛特性，反对称三角迭代法，交替迭代法的半收敛性理论及广义鞍点问题Uzawa类型算法等． 研究了非Hermitian矩阵线性系统单分裂的收敛性理论．首先，对矩阵的Hermitian和反Hermitian分裂(HSS)添加一个参数α，得到了变形的HSS分裂，利用新的分裂方法建立了非Hermitian正定矩阵单分裂的收敛性理论，给出了取特殊分裂时最优参数的选取方法．同时，将非Hermitian正定矩阵单分裂的收敛定理应用到广义交替迭代法和两步多分裂迭代法中，给出了两种方法的收敛理论．其次，利用与HSS分裂相类似的正规和反Hermitian分裂(NSS)方法，研究了非Hermitian不定矩阵单分裂收敛的等价条件，给出了非Hermitian不定矩阵NSS分裂的相关性质．同时，将所得结论用来判定矩阵是否具有对称占优性。 研究了两类特殊迭代方法-矩阵双分裂迭代法和反对称三角迭代方法．首先，建立了系数矩阵为两类特殊矩阵-H-矩阵和Hermitian正定矩阵时，双分裂迭代法的收敛性理论，并且得到了Hermitian正定矩阵双分裂的比较理论．这些理论为迭代法的选择提供了一些理论依据．其次，给出了反对称三角迭代法中迭代矩阵的两种新的选取方法，对文[65]进行了拓展，得到了反对称三角迭代法收敛的充分条件，对于最优参数的选择也做了相应的介绍．另外，给出了新方法中H0的一些特殊选取，并得到了迭代法无条件收敛的理论结果． 研究了交替迭代方法．首先对各类交替迭代法，如经典交替迭代法，广义交替迭代法，并行同步迭代法，并行交替同步迭代法的模型一和模型二进行了简单介绍．其次，研究了当系数矩阵为奇异矩阵时各类交替迭代法的半收敛性理论，同时给出了各类交替迭代法的比较理论． 研究了鞍点问题中Uzawa类型的迭代解法．在对各类Uzawa类型算法进行回顾后，提出了三个带松弛因子的非线性Uzawa算法，即非线性Uzawa算法的变形，分析了各算法的收敛性问题，得到三个算法的收敛理论．同时，通过数值实验说明了引入松弛因子的必要性，实验结果表明，前两个带松弛因子的非线性Uzawa算法比原算法所需迭代数少．

目录

文摘

英文文摘

论文说明：主要符号对照表

声明

第一章绪论

1.1研究问题和背景

1.1.1线性方程组的分裂迭代法

1.1.2鞍点问题的Uzawa类型算法

1.2本文主要研究内容、方法和创新点

1.3本文结构安排

第二章非Hermitian线性系统单分裂收敛性理论

2.1非Hermitian正定矩阵单分裂收敛性理论

2.1.1引言

2.1.2非Hermitian正定矩阵单分裂收敛性理论

2.1.3收敛定理的应用

2.2非Hermitian不定矩阵单分裂收敛性理论

2.2.1引言

2.2.2非Hermitian不定矩阵单分裂收敛性理论

2.2.3非Hermitian不定矩阵NSS分裂的相关性质

2.2.4收敛定理的应用

2.3本章小结和展望

第三章两类特殊迭代方法研究

3.1基于矩阵双分裂迭代法研究

3.1.1引言

3.1.2矩阵双分裂收敛性理论

3.1.3 Hermitian正定矩阵双分裂比较理论

3.2反对称三角迭代法研究

3.2.1问题的引入

3.2.2反对称三角迭代方法

3.2.3收敛的充分条件

3.2.4最优参数τ的选取

3.3本章小结和展望

第四章交替迭代方法半收敛理论研究

4.1预备知识

4.2经典交替迭代法半收敛理论

4.2.1引言

4.2.2算法的半收敛性

4.2.3比较理论

4.3广义交替迭代法半收敛理论

4.3.1引言

4.3.2算法的半收敛性

4.3.3比较理论

4.4并行同步迭代法半收敛理论

4.4.1引言

4.4.2算法的半收敛性

4.4.3比较理论

4.5并行交替同步迭代法半收敛理论

4.5.1引言

4.5.2算法的半收敛性

4.5.3比较理论

4.6本章小结和展望

第五章广义鞍点问题的Uzawa算法

5.1Uzawa算法回顾

5.1.1引言

5.1.2 Uzawa类型的算法及收敛性回顾

5.2带松弛因子的Uzawa类型算法

5.2.1 RNUA算法收敛性分析

5.2.2 RNUS算法收敛性分析

5.2.3 RNUAS算法收敛性分析

5.3数值实验

5.4本章小结和展望

第六章结论

致谢

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果