奇异摄动方程渐近解的探求与估计

摘要

本文综合论述了奇异摄动理论的研究背景,并陈述了一些相关的概念、记号以及已有的结论。重点研究了奇异摄动理论中一些具体方程(这些方程包括:具有无限长区域的非线性方程,具有三个转向点的方程,燃烧问题中抽象出来的方程)。综合运用奇异摄动理论和微分方程的相关理论,给出了这些方程的渐近解,得到了一些新的成果,推广了已有的结论。通过Matlab对某些具体方程的渐近解进行了数值模拟,并对其精确程度予以了验证。
　　 主要工作概述如下:
　　 1.采用收缩变换和匹配渐近展开法,研究了一个具有无限长区域的非线性方程,给出了其渐近解。并将其推广到了一类具有无限长区域的非线性方程,除了通过上述方法得到渐近解外,又通过倒代换,将无限区域化为有限区域,结合匹配渐近展开法进行求解。用两种方法给出了渐近解一致的表达式。另外,对无限长区域上方程的可解类型提出了进一步的猜想。
　　 2.运用Airy函数和奇摄动理论分析了物理学中经常遇到的转向点问题。在转向点附近解的性质完全不同于其他区域内解的性质,在不同的区域中分别求解,通过匹配得到方程在不同区域上相互关联的若干渐近表达式。具体地说,研究了一个特殊的具有三个转向点的大参数的奇摄动方程,在此基础上讨论了一般的具有三个转向点的大参数的奇摄动方程。对已有的结果进行了推广,通过对转向点附近解的性质的分析,将具有两个转向点的方程推广到了三个乃至更多个转向点的方程。
　　 3.利用微分不等式理论,对从实际生活中抽象出来的没有预先混合的燃烧理论的已有结果进行了推广。讨论了比燃烧问题更一般的半线性奇摄动边值问题。在一定的假设下,用与相关参考文献不同的方法,得到了更一般的结果。具体地构造出了具有不同性态的左右边界层函数和角层函数;再用微分不等式理论构造出上下解,证明了解的存在性,并给出了其渐近估计。