具有尺度结构的生物种群模型的渐近行为和纳什均衡

摘要

在生态学领域，生物种群的数学建模越来越受到关注，不仅是因为用数学方式描述和研究现实生物系统内部机理的需要，更有很多现实经济价值和环保价值。在考虑个体结构的生物种群建模方面，通常有两种比较主要的方式，一种是发展较为成熟的基于年龄结构的建模，另一种是近年来被广泛关注的基于尺度结构的建模。年龄简单易懂，含义单一。尺度则包含更广泛的情况，例如，尺度可以是个体的长度，表面积，体重，直径，成熟度等等表示个体特征的数量指标。如此看来，年龄结构也可以看做是尺度结构的特殊情况而被包含进去。除了包含的情况更多更广泛以外，在具体的建模过程中，实际数据的获得也较为方便，这给现实实验提供了可能和便利。再者，尺度在描述种群的演化以及经济资源方面具有明显的优势。
　　鉴于尺度结构模型较之年龄结构的先进性和广泛性，本文考虑的是尺度结构模型。从两个方面对其进行研究。一是研究其动力学性态（如解的存在性、唯一性、非负性、有界性、稳定性、解对模型参数的连续依赖性，渐近性等）。二是研究了涉及多个开发者的资源利用问题。综合应用泛函分析（不动点定理，切锥-法锥理论）、复变函数（Laplace变换和留数理论）、微分方程、积分方程等知识，得到一些理论成果，为模型的实际应用提供了一些科学理论依据。
　　本文的主要工作有：
　　在第二章，研究了一类线性的尺度结构种群模型的渐近行为。这主要是因为渐近行为刻画了生物种群在较长时间内的行为演化，对研究生物种群的未来的发展、存亡有重要意义。在第一节建立该模型，并且给出应用于后面的基本假设。在第二节应用特征线法，将偏微分方程转化为常微分方程，由此得到了模型的形式解。在此基础之上，经过推导，最终得到了关于出生率函数的Volterra积分方程。在第三节，利用Bellman引理、复变函数论中的Laplace变换和留数理论等，详细分析了种群出生率函数的渐近行为。最后，第四节给出了种群的长时间行为，并且得出种群的渐近行为依赖于一个重要参数——种群内禀增长率。
　　在第三章，考虑一个资源开发的动态博弈问题，资源模型是一个线性的尺度结构模型，博弈双方为追求利益最大化的经济人。此问题是种群建模理论和现实经济问题相结合而产生的，是生物数学理论在现实中的应用，很值得研究。在本章的第一节，提出被开发种群的数学模型，且给出了为后续讨论作出的基本假设。在第二节，主要证明了解关于开发策略的连续性，首先是将原来的模型变形，然后给出其形式解。然后定义种群出生率函数，并且推导出其Volterra积分方程，最后，应用Gronwall不等式证明了模型的解关于策略变量的连续依赖性。在第三节，主要得出了纳什均衡具有Bang-Bang结构。首先是推导出原来系统的共轭系统，然后运用切锥-法锥理论，对最优策略所满足的条件进行讨论，然后重新定义变量和积分推导，最终得到了纳什均衡的结构。在第四节，将原来的两个竞争者扩展到有限个，并且详细给出了资源模型和博弈模型，最终还给出了在有限个竞争者的情况下，博弈问题的纳什均衡。

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第一章 绪论

1.1 具有尺度结构种群动力学的研究概况

1.2 本文的主要工作

1.3 预备知识

第二章 一类基于个体尺度的种群模型的渐近行为

2.1 引言及模型

2.2种群出生率函数的Volterra积分方程

2.3 出生率的渐近行为

2.4 种群的渐近行为

第三章 一类具有尺度结构种群的开发博弈的纳什均衡

3.1 引言与资源模型

3.2 模型的解

3.3 博弈均衡

第四章 总结及展望

致谢

参考文献

附 录

作者在读期间完成的学术论文及参加的科研项目