有理重心插值中Lebesgue函数的最值问题研究

摘要

重心型插值公式具有计算量小，相对较好的数值稳定性和添加新的插值节点不需要增加原有插值节点基函数的优点。当拟合大量的数据点集时，有理插值在某些方面会比多项式插值的逼近性更好，但是有理插值难于控制极点的产生。Floater和Hormann提出的重心有理插值（Barycentric rational interpolation，BRI）既避免了多项式插值可能出现的龙格现象，又充分考虑到一般有理插值在极点的处理上存在的不足，基于此，BRI广泛应用于逼近论及相关领域。
　　关于本文的整体框架，首先，前两节引出有理重心插值的研究背景、现状以及意义。并对重心插值中的两大类插值Lagrange插值和有理插值的优缺点进行了扼要的分析。
　　其次，着重研究了有理重心插值中的Berrut有理插值和Floater-Hormann有理插值，通过引入Lebesgue函数的概念和Lebesgue常数来对比两种有理插值的优劣。目前为止，国内外对最简单的等距节点下的Berrut有理插值的Lebesgue函数的研究取得了许多有意义的成果。本文在前人的基础上继续对Berrut有理插值的Lebesgue函数的性质进行了拓展，从理论上证明了Lebesgue函数在区间上的对称性及序列上的增减性，文末绘制的图形也印证了这些性质。
　　然而，Berrut有理插值只是Floater-Hormann重心有理插值的特例，Floater和Hormann插值函数中，d决定着有理插值的权重系数和插值进程的好坏。基于已知的图形表明，不同的d决定着Lebesgue函数所能达到的最值点所在的区间也不同。本文证明了当d2时，Floater和Hormann重心有理插值所对应的最大值确实能在区间的两个端点处取到。
　　最后，文末对重心有理插值的Lebesgue函数进行了改进，提出了一类扩展的重心有理插值函数的条件数，并将等距节点的重心有理插值推广到近似等距节点下时所得到的插值问题进行了探究。

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1 绪论

1.1有理重心插值的研究背景

1.2有理重心插值的研究现状

1.3有理重心插值的研究意义

1.4本文的主要工作

2 重心Lagrange插值和重心有理插值

2.1引言

2.2重心Lagrange插值

2.3重心有理插值

3 Berrut有理插值和Floater-Hormann有理插值

3.1 Berrut有理插值

3.2 Floater-Hormann有理插值

3.3数值算例

3.4结论

4 Berrut有理插值的Lebesgue函数的性质

4.1 Berrut有理插值的Lebesgue函数的性质

4.2 等距节点下的Berrut有理插值的一个紧致上界

4.3本章小结

5 重心有理插值的Lebesgue函数的性质

5.1重心有理插值的Lebesgue函数的最值性质

5.2图形样例

5.3本章小结

6 重心有理插值的Lebesgue函数的改进形式

6.1 一类扩展的重心有理插值函数的条件数

6.2近似等距节点下的重心有理插值问题的探究

7总结和展望

致谢

参考文献

附录