非线性波方程显式精确解及其动力学行为研究

摘要

本文运用推广的Fan子方程法与动力系统分支理论来研究高阶非线性波方程的显式精确行波解和耦合非线性波方程行波解存在的充分条件、分支相图及其动力学行为。推广的Fan子方程法是将Fan子方程法与动力系统分支理论巧妙地结合起来，首先利用齐次平衡法并借助符号软件Maple得出参数约束条件，再结合微分方程定性理论分析获得系统的相图与分支，从而得到高阶非线性波系统更为广泛的行波解。与此同时，动力系统分支理论方法首先通过时间尺度变换将非线性耦合波方程变为平面耦合动力系统，其次运用定性理论分析耦合系统的平衡点存在情况并结合其 Hamilton函数得到系统的相图分支及各类行波解的存在条件。 本文研究了以下三个浅水波模型： 1.一类α2=1的广义Camassa-Holm方程即广义强色散DGH方程：此处公式省略:其中ω，γ为任意常数。 2.双耦合系统Zakharov-Ito模型：此处公式省略:其中k为任意常数。 3.耦合系统Ito模型：此处公式省略: 主要研究了以上模型的分支与相图、显式精确解及其存在的充分条件，并借助相图分析了孤波解的动力学行为。本文研究的非线性波方程在流体力学领域中有重要的实际意义与潜在性价值。

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第一章 绪 论

§1.1 非线性波方程精确解的几种求解方法简述

§1.1.1 反散射法

§1.1.2 tanh-sech 方法

§1.1.3 齐次平衡法

§1.1.4 Fan子方程法

§1.2 Jacobi椭圆函数

§1.3 本文的主要研究工作

第二章 一类广义强色散DGH方程的精确行波解问题

§2.1 推广的Fan子方程法的基本步骤

§2.2 问题的提出

§2.3 广义DGH方程的有界行波解

§2.3.1 系统(2-2-1)在情形(2-3-7)下的有界行波解

§2.3.2 系统(2-2-1)在情形(2-3-8)下的有界行波解

§ 2.4 本章小结

第三章 Zakharov-Ito及Ito耦合方程的行波解分支问题

§3.1动力系统分支理论方法的基本步骤

§3.2 问题的提出

§3.3 双耦合Zakharov-Ito方程的行波解分支

§3.3.1 系统(3-3-6)的平衡点与相图

§3.3.2 系统(3-3-5)的有界精确行波解

§3.3.3 系统(3-3-5)的行波解的存在性

§3.4 Ito耦合系统的行波解分支

§3.4.1 系统(3-4-6)的平衡点与相图

§3.4.2 系统(3-4-5)的有界精确行波解

§3.4.3 系统(3-4-5)的行波解的存在性

§3.5 本章小结

第四章 总结与展望

§4.1 主要研究结果

§4.2 研究展望

参考文献

致谢

作者在攻读硕士期间的主要研究成果