基于BP神经网络的小波自适应提升格式

摘要

小波分析是继傅里叶分析之后的又一重要数学学科。小波分析的发展扎根于纯数学、物理、工程等领域，同时也是处于数学(调和分析)、科学计算和信号处理处理的一门交叉学科，它提供了一套系统的概念、方法和算法来处理非平稳信号。
　　 一代小波的构造都是基于平移和尺度变换，这样构造的小波能够在不同位置，以不同的分辨率对信号进行刻画。能够以不同的分辨率分析信号的特性使得小波特别适合于非平稳信号分析。但是一代小波的构造和小波基灵活选取的困难也是制约其应用的因素。
　　 90年代中叶，Sweldens 提出了双正交小波的提升格式，提升格式的提出在很大程度上解决了传统小波构造方法依赖于因式分解的问题。提升格式为小波理论带来了如下几方面的变化，其一，提升格式允许我们在原有双正交小波的基础上构造相似的新的双正交小波，这就使得我们可以在应用中根据具体的需要设计更为合适的双正交小波。其二，提升格式使得自适应的小波构造成为可能。在实际应用中我们可以利用某些方法，根据信号的特征来生成新的提升小波，这就使得自适应提升格式得到的小波能够自动地符合信号的要求。其三，提升格式使得非线性小波成为可能。传统小波的构造是基于尺度函数和小波函数的平移和尺度变化，从本质上来讲这些运算都是线性空间的运算，这就使得一代小波实质上是线性小波，但是提升格式允许在提升步骤中使用非线性提升，这就使得由非线性提升得到的提升小波具有非线性的特征，在刻画一些非线性的结构时更为有力。
　　 这些非线性的提升小波并不能表示成尺度函数和小波基的平移和尺度变换的线性组合，这就使得提升小波具有完全不同于一代小波的特征和构造方法，因而称之为第二代小波。从一代小波和二代小波的关系来看，Daubechies 指出任何一代小波都可以分解为有限的提升格式中的基本提升步骤，且这些提升步骤都可以表示为多项式的形式，多项式的线性本质这也正是一代小波线性性的本质所在，但是许多提升格式得到的小波却不能用一代小波的理论框架表示出来。从二代小波的构造方法来看，大概可以分为两类：(1)用已有的双正交小波进过修正构造。(2)把原信号分解为不相互重合又完全覆盖原信号的数个部分，在各个部分之间应用提升格式，最后把每个提升步骤串接起来就是全新的双正交小波滤波器。这方面较为成熟的理论是Lazy 小波，Lazy 小波把原信号分为奇数列和偶数列，在奇偶数列之间应用提升步骤来实现提升格式。所有一代小波的提升分解都是在Lazy 小波的框架下进行的。
　　 线性逼近能力是衡量一个小波变换是否具有优良性质的重要指标，良好的线性逼近能力通常意味着该小波变换在对信号进行变换以后可以得到高能量的低频系数和低能量的高频系数，并且通常高频系数还具有稀释的特征。这些特征无论是在数据压缩还是信号检测、目标识别等领域都具有重要的意义。
　　 自适应提升格式是借助在基本的提升步骤中引入自适应的思想实现的。自适应这种基本思想实际上在信息处理的各个领域都得到了广泛的应用，例如音频编码中的可变比特率、JPEG2000 编码中的视觉权重等，这些都是自适应思想的成功应用。已有的自适应提升格式主要有Piella的自适应提升格式和Chan的ENO自适应提升格式。
　　 本文给出了一种完全不同的自适应提升格式，借助于BP 神经网络来实现小波自适应提升。借助于BP 神经网络的自学习、非线性、优化逼近等特征，本文所得到的BP 神经网络提升格式具有良好的线性逼近能力。我们对在Daubechies9/7 小波基础上进行BP 神经网络提升得到的小波和Daubechies9/7小波进行了线性逼近能力的比较，实验结果表明本文给出的方法具有更好的线性逼近能力。