离散不适定问题的Arnoldi迭代正则化方法及应用

摘要

本文研究以下形式的大规模最小二乘问题的有效近似解:minx∈Rn‖Ax-b‖22,其中，A∈Rn×n，b∈Rn，大型矩阵A的奇异值逐渐衰减到0且衰减过程中不出现大的跳跃，特别的，A是严重病态的且奇异的。具有以上特性的大型最小二乘问题称为大规模离散不适定性问题。这类问题来自于不适定问题的离散化，如具有光滑核的第一类Fredholm积分方程，并在图像复原中具有重要的应用。
　　由于矩阵A的严重病态性且观测向量b中噪音等误差向量e的存在，故直接求解大规模离散不适定问题是毫无意义的。一种通用的求解办法是用一个对噪音向量e不敏感的问题近似替换离散不适定问题，再求解替换后的问题，将其解作为离散不适定问题的有效近似解，这种替代称为正则化。Tikhonov正则化方法可能是最常用的一种正则化方法之一。本文系统地研究了求解Tikhonov正则化问题的Arnoldi迭代算法及其应用，内容包括:系统地总结了现有的Arnoldi迭代正则化方法;提出了一种新的值域限制的Arnoldi迭代正则化方法和广义的Arnoldi迭代正则化方法，并研究了这些方法在第一类Fredholm积分方程和图像复原中的应用。
　　本文共分为五章。第一章介绍了论文的选题背景及意义、国内外研究进展，以及论文内容和创新点;第二章介绍离散不适定问题的Lanczos双对角化算法和Arnoldi迭代正则化方法，给出了Arnoldi迭代正则化方法的两个数值实例;第三章基于Krylov子空间，提出一种值域限制的Arnoldi迭代正则化方法的算法，并研究了该方法在第一类Fredholm积分方程和图像复原中的应用;第四章推广了Arnoldi迭代正则化方法，得到了一种广义的Arnoldi正则化方法算法，研究了其在第一类Fredholm积分方程和图像复原中的应用;第五章对全文进行了总结。

目录

声明

摘要

第1章 引言

1．1 选题背景及意义

1．2 离散不适定问题的研究进展及研究现状

1．3 本文的研究内容和创新点

1．4 本文的结构安排

第2章 Arnoldi迭代正则化方法

2．1 Lanczos双对角化算法

2．2 Arnoldi迭代正则化算法

2．3 数值实验

第3章 值域限制的Arnoldi迭代正则化方法

3．1 值域限制的Arnoldi正则化理论

3．2 值域限制的Arnoldi正则化算法

3．3 数值实验

3．4 本章总结

第4章 广义的Arnoldi迭代正则化方法

4．1 广义的Arnoldi迭代正则化理论

4．2 广义的Arnoldi迭代正则化算法

4．3 数值实验

4．4 本章结论

结论

致谢

参考文献

攻读硕士学位期间取得学术成果

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