选择最佳目标函数和约束条件进行波动方程地震参数反演

摘要

地震波动方程参数反演的目的是利用观测到的地震资料来获取地下介质的属性信息。由于所要反演地下介质的复杂性、野外观测的地震资料的不完备性及噪音等因素，地震参数反演中的数学问题常常是非线性的、病态的，这导致了反演结果的不稳定性以及反问题解的非唯一性。论文通过对野外地震数据中噪音同最优化反演目标函数关系的研究，提出了一种基于反正切函数的混合目标函数；针对地震波参数反演问题中解的非唯一性，设计了一种系统的约束条件运用方法；论文将构造的反正切目标函数运用到梯度法、Newton法等局部最优化算法中，讨论了反正切加权因子在梯度向量、Hessian矩阵计算中对各元素的调节作用；论述了信赖域方法在提高反演过程的稳定性、全局收敛性以及加速收敛等方面的显著作用。由于l2范数的目标函数要求原始数据遵从Gaussian分布，对异常数据噪音过分地敏感。野外地震资料中常常含有大量的异常噪音，它们的存在使得传统的基于l2范数的目标函数无法正确地反映初始模型与实际地下介质模型间的偏差，而且容易将参数反演过程引入歧途。论文中，首先系统地分析了数据噪音同反演目标函数之间的关系，通过对以往目标函数的分析，指出它们在稳定性和处理不同概率分布野外数据时的不足。然后，利用反正切函数提出了一种新的混合目标函数设计方法。反正切混合目标函数对于小数据误差项用近似l2模的方式处理，对于较大的数据误差项用近似l2模的方式处理。对反正切混合目标函数的梯度特征分析表明反正切加权因子抑制了数据中噪音对反演过程的影响，加速了叠代收敛过程。反正切目标函数不仅能够有效地削弱异常数据噪音的影响，还具有对不同概率分布的野外地震数据的适应性。其控制参数决定了反演过程对不同数据误差项的处理方式。论文中通过模型试验以及对反正切混合目标函数的概率特征分析，论述了不同控制参数的作用和选取方法，分析还表明反正切目标函数能够适应正态、指数等不同概率密度分布的数据输入，提高了目标函数的适应能力，扩大了波动方程反演的处理范围。论文还系统地推导了其梯度、Hessian矩阵的计算公式，对反正切目标函数同一阶、二阶以及其它高阶范数目标函数的关系作了系统研究。为了降低反演问题解的非唯一性，提高稳定性，引入先验地质、地球物理约束信息是一种有效的途径。为了有效地表示约束条件中的不确定性，论文中将约束信息的不确定性用模糊数表示，将原来的确定性地震资料反演问题转化为模糊优化问题。这样，不同的约束条件(等式约束、单值约束、方向约束等)都可以归为区间约束问题，简化了约束问题的研究。为了表达约束函数值偏离其约束区间中心的程度，论文采用指数函数构造了一种约束势函数。对于接近约束区间中点的约束函数值，约束势函数的取值接近于零，而一旦约束函数值偏离约束区间，约束势函数的取值急剧增大，从而起到了罚函数的作用。通过引入势函数模板，简化了势函数的构造。论文重点对地震资料波动方程反演中的区间约束、梯度约束和方向约束进行了研究，分析了约束势函数的梯度特征，并将约束势函数结合到目标函数中。最后还对梯度、方向约束势函数在运用中存在的问题进行了分析。梯度特征分析和模型试验表明，约束势函数增大了有效信息在梯度场中的比重，提高了梯度计算的精度，降低了反演问题解的非唯一性，提高了收敛速度。论文中导出了利用反正切目标函数的梯度反演、Newton反演和信赖域反演计算公式，对反正切函数在梯度、Hessian矩阵计算中的作用进行了分析，表明反正切函数通过有效地压制数据噪音，提高了梯度计算的精度，加快了反演过程的收敛速度。论文中还通过模型试验，对几种局部优化算法进行了比较，指出最优化的信赖域方法在降低最优化反演过程的不稳定性、减少陷入局部极值的可能性以及提高全局收敛性等方面有很好的辅助作用。理论和试验分析表明，在复杂介质波动方程参数反演过程中，本文提出的反正切目标函数能够有效地抑制数据噪音的影响；信赖域方法和约束势函数方法在减少反演过程陷入局部极值，引导反演过程快速收敛等方面起到了很大的作用。关键字：反演 波动方程 最优化 混合目标函数 反正切函数 约束条件势函数 信赖域

目录

文摘

英文文摘

声明

引言

一、地球物理学中波动方程参数反演问题概述

二、频率-空间域波动方程正演和反演问题概述

三、存在的问题和论文的主要研究内容

第一章 频率-空间域波动方程正演方法

一、频率-空间域波动方程正演方法概述

二、声波波动方程模型的旋转坐标系有限差分方法

第二章 基于加权的混合目标函数

一、地球物理反演中最优化目标函数研究概述

二、地球物理反演中最优化目标函数的构造方法

三、利用反正切函数构造误差函数

四、反正切混合目标函数参数的意义和选择方法

五、模型实验

第三章 基于势函数的约束处理方法

一、地球物理反演中约束条件问题概述

二、约束条件表示方法

三、利用势函数描述约束条件

四、模型试验

第四章 频率域波动方程地震参数反演

一、简述

二、梯度反演方法

三、Newton方法

四、信赖域方法(Trust Region Method)

五、几种最优化方法的分析、比较

六、实际地震资料叠前波形反演

第五章 结论

参考文献

致谢

攻博期间研究成果