Canonical对偶理论在数学规划和最优控制中的应用及其他

摘要

本文第一部分研究全局优化问题和非线性最优控制问题。
　　 本文利用Canonical对偶理论,研究带有不等式约束和箱约束的二次规划问题。非凸二次规划问题是NP-hard的。利用Canonical对偶变换,将带有不等式和箱约束的非凸问题转化为一个凹函数的最大值问题。由于对偶问题与原问题具有相同的KKT点,因此二者之间不存在任何对偶间隙。此外,还给出了全局最优解和局部最优解的判别条件。并证明了Canonical对偶方法的理论性质:当对偶问题在对偶正则集Sa+上有解时,可以直接找到带有不等式和箱约束的非凸问题的全局最优解。
　　 作为Canonical对偶方法的重要应用,本文研究了一类非线性最优控制问题的数值求解方法。最优控制是现代控制理论的重要组成部分,是目前数学控制理论中较活跃的一个研究方向。现有的一些数值求解法大都是把变分方法和求解非线性规划问题的数值方法加以改造拓展而形成的,许多实际问题的求解仍然存在很大的困难。随着代数和几何方法引入控制理论,以H.J.Sussmann为代表的许多学者利用李代数建立了现代非线性控制论。J.H.Zhu利用Lie级数离散非线性控制系统,并结合值函数的粘性解方法,提出了用于求解最优控制问题的一类数值算法。
　　 本文将利用Lie级数将最优控制问题转化成一个带有分片柱体约束的非线性最优化问题。然后,把求解箱约束问题的Canonical对偶方法推广到带有分片柱体约束的问题,我们可以给出此类问题全局最优解的一个充分条件。本文利用Canonical对偶方法并结合Lie级数的相关理论,构建了求解最优控制问题的一种数值解法。从具体实例中不难看出,对于某些特殊的情况,运用该方法可以得到最优控制问题的精确解。
　　 本文第二部分研究一类带有约束的最优投资问题。
　　 本文探讨了随机最优控制方法在一类带有约束的最优投资问题中的应用。最优投资理论是金融市场理论的重要分支,是风险控制与管理的主要课题之一。目前,一些比较成熟的方法,如鞅的方法,都需要基于完全市场的假设。而随机控制方法涉及到求解一个HJB偏微分方程方程,往往也很难得到最优投资问题精确解。
　　 本文建立一类带有约束条件的非完全市场最优投资模型。通过变量代换,把关于终端财富的二次最小化问题转化成一个带有锥约束的随机LQ控制问题。研究了如何由随机控制问题的解得到最优的投资策略和消费过程,并借助求解带有锥约束的随机控制问题的方法,推导出最优控制问题精确解的形式。最后,利用粘性解的方法,设计了最优投资问题的一种数值解法,并通过一个具体实例对计算过程进行说明。

目录

文摘

英文文摘

第1章 引言

1.1 全局最优化问题概述

1.2 最优控制问题概述

1.3 最优投资问题概述

1.4 文章基本结构

第2章 Canonical对偶方法的理论基础

2.1 对偶理论的研究背景

2.2 二次规划问题

2.3 Canonical拉格朗日对偶理论

2.3.1 鞍-拉格朗日对偶理论

2.3.2 超-拉格朗日对偶理论

第3章 求解非凸全局最优化问题的Canonical对偶方法

3.1 原问题及其Canonical对偶问题

3.2 全局最优解和局部最优解

3.3 例子

3.4 一些特例的讨论

第4章 箱约束问题在控制问题中的应用

4.1 非线性最优控制和最优轨道的线性逼近

4.2 带有分片柱体约束的非凸二次规划问题

4.2.1 原问题及其Canonical对偶问题

4.2.2 全局最优解和局部最优解

4.2.3 仅含分片柱体约束的非凸二次规划

4.2.4 例子

4.3 在一个最优控制问题中的应用

第5章 随机LQ控制在最优投资问题中的应用

5.1 背景介绍

5.2 连续时间的最优投资模型及相关定义

5.3 一类带有约束的最优投资问题

5.3.1 将最优投资问题转化为随机LQ控制问题

5.3.2 求解带有锥约束LQ问题的解析解

5.3.3 利用粘性解算法求解最优投资和消费过程

5.3.4 例子

第6章 结论与展望

6.1 结论

6.2 问题和展望

附录 A 例5.3.4的Matlab程序

致谢

参考文献

个人简历 在读期间发表的学术论文与研究成果