Non-Isotropic Jacobi Pseudospectral Method

摘要

谱方法的主要优点是高精度．然而，该优点往往被真解的奇异性破坏，例如微分方程的主项系数退化。此外微分方程不同阶导数的系数退化情况也可能完全不同·为了解决此类问题。郭本瑜发展了非一致权S0bolev空间上的Jacobi逼近，提出了相应的Jacobi谱方法，并应用于一维奇异微分方程的数值解。Jacobi谱方法对其他与奇异性相关的问题也是十分有用的，例如在无界或轴对称区域上的微分方程数值解。另一方面，Jacobi逼近的一些结果也成功地应用到了有理谱方法的数值分析。 在实际应用中，人们对多维奇异问题数值解法更感兴趣。郭本瑜、王立联提出了两维区域上的Jacobi谱方法。鉴于拟谱方法只需计算未知函数在插值点上的值，因此在实际应用中更方便，并且更容易处理非线性项。郭本瑜、王立联研究了一维奇异问题的拟谱方法，但迄今还没有关于多维问题Jocobi拟谱方法的工作。 本文主要讨论多维Jocobi拟谱方法及其应用。在第1章，我们回顾了相关工作的历史，并概述了本文的主要工作。在第2章，我们回顾并更新了一些一维Jacobi逼近的结果。在第3章中，我们研究了多维区域上Jacobi-Gauss型插值，有关结果是多维奇异问题Jacobi拟谱方法的理论基础。我们也改进了Legendre-Gauss型插值有关结果，并得到一些Bernstain-Jackson型不等式。这些结果对处理非常系数微分方程十分有用。作为应用的例子，我们在第4章考虑了一个二维奇异问题拟谱方法，并在第5章讨论了轴对称区域问题的拟谱方法，证明了算法的收敛性。数值结果显示这些方法的有效性。最后一章是全文的总结。

目录

文摘

英文文摘

声明

1 Introduction

2 Preliminaries

3 Jacobi-Gauss Type Interpolation In Two Dimensions

3.1 Orthogonal Jacobi approximation in two dimensions

3.2 Jacobi-Gauss type interpolation

3.3 Error estimates of Jacobi-Gauss type interpolation

3.4 Some results on Legendre-Gauss-Lobatto interpolation

4 Jacobi Pseudospectral Method for Singular Problems

5 Jacobi Pseudospectral Method for Problems on Axisymmetric Domains

6 Concluding Remarks

Bibliography

Appendix

致谢